Considere a função V:(0,+∞) -> R dada por
V(t) = (k t)^(k t)
onde k é uma constante positiva. O valor de V'(2/k) é
a) Ln(2^(raiz(2) * k))
b) Ln(2^(2 * raiz(2) * k))
c) Ln(2^k * raiz(2))
d) Ln(2^(raiz(2*k)))

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta a função e nos pede para encontrar a derivada dessa função no ponto . Estamos lidando com cálculo, mais especificamente com derivadas de funções que envolvem potências e exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da derivada para funções exponenciais e logarítmicas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a derivação. Sabemos que pode ser reescrita usando logaritmos naturais para tirar o expoente. Vamos chamar essa função de :

Passo 3

Agora, aplicamos o logaritmo natural dos dois lados para facilitar a derivação:

Passo 4

Usando a propriedade dos logaritmos que diz , podemos simplificar o lado direito:

Passo 5

Agora, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que é uma função de , então usamos a regra da cadeia no lado esquerdo:
Aqui, usamos a regra do produto para derivar .

Passo 6

Simplificando a derivada do lado direito:
Multiplicamos ambos os lados por para isolar :

Passo 7

Lembrando que , substituímos de volta:

Passo 8

Agora, queremos encontrar . Substituímos na expressão da derivada:

Passo 9

Simplificando os termos:

Resposta

A alternativa correta é a c) .

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