Considere a função
dada por
onde
é uma constante positiva. O valor de
é
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta a função
e nos pede para encontrar a derivada dessa função no ponto
. Estamos lidando com cálculo, mais especificamente com derivadas de funções que envolvem potências e exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da derivada para funções exponenciais e logarítmicas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a derivação. Sabemos que
pode ser reescrita usando logaritmos naturais para tirar o expoente. Vamos chamar essa função de
:
Passo 3
Agora, aplicamos o logaritmo natural dos dois lados para facilitar a derivação:
Passo 4
Usando a propriedade dos logaritmos que diz
, podemos simplificar o lado direito:
Passo 5
Agora, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que
é uma função de
, então usamos a regra da cadeia no lado esquerdo:
Aqui, usamos a regra do produto para derivar
.
Passo 6
Simplificando a derivada do lado direito:
Multiplicamos ambos os lados por
para isolar
:
Passo 7
Lembrando que
, substituímos de volta:
Passo 8
Agora, queremos encontrar
. Substituímos
na expressão da derivada:
Passo 9
Simplificando os termos:
Resposta
A alternativa correta é a c)
.