A equação da reta tangente ao gráfico da função f, no ponto p = (1 + e, pi/4) é da forma y = e * x + Constante, onde e constante de Euler. nestas condições, pode-se concluir que, para u = tg(f(x + ln x)), a taxa de variação du/dx | x=e vale:
a) 2(1+e)
b) 1 + e
c) e
d) raiz(2) * (1 + e)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma questão de cálculo que envolve derivadas e tangentes. A gente precisa descobrir a taxa de variação de uma função composta no ponto onde . Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular derivadas de funções compostas e usar a informação da reta tangente dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a reta tangente à função f no ponto tem a forma , onde e é a constante de Euler. A inclinação dessa reta tangente é a derivada de f nesse ponto, ou seja, .

Passo 3

Agora, queremos encontrar a derivada de em relação a x. Para isso, vamos usar a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas. A regra da cadeia diz que:

Passo 4

Vamos calcular cada parte dessa expressão no ponto onde :
  1. : Quando , temos . Sabemos que , então .
  2. : Já vimos que .
  3. : Substituindo , temos .
  4. : Como , temos .

Passo 5

Agora, substituindo tudo na expressão da derivada:
Vamos simplificar:

Resposta

A taxa de variação du/dx | x=e vale .

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