A equação da reta tangente ao gráfico da função , no ponto é da forma Constante, onde constante de Euler. nestas condições, pode-se concluir que, para , a taxa de variação vale:
a) 2(1+e)
b) 1 + e
c) e
d) raiz(2) * (1 + e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma questão de cálculo que envolve derivadas e tangentes. A gente precisa descobrir a taxa de variação de uma função composta no ponto onde . Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular derivadas de funções compostas e usar a informação da reta tangente dada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a reta tangente à função f no ponto tem a forma , onde e é a constante de Euler. A inclinação dessa reta tangente é a derivada de f nesse ponto, ou seja, .
Passo 3
Agora, queremos encontrar a derivada de em relação a x. Para isso, vamos usar a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas. A regra da cadeia diz que:
Passo 4
Vamos calcular cada parte dessa expressão no ponto onde :
: Quando , temos . Sabemos que , então .
: Já vimos que .
: Substituindo , temos .
: Como , temos .
Passo 5
Agora, substituindo tudo na expressão da derivada: