Para a função u = Ln[(A x + B) / (x + 1)]^2024, sabendo-se que
u'(0) = 2024
pode-se concluir que
a) A=2 B
a) B = 2 A
a) B + 1 = 2 A
a) A + 1 = 2 B

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente tem uma função que envolve logaritmos e precisamos descobrir uma relação entre as constantes e . O que vamos precisar aqui é saber como calcular derivadas e entender um pouquinho de logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para ficar mais fácil de trabalhar:
Lembra que , então podemos trazer o expoente para fora do logaritmo:

Passo 3

Agora, vamos precisar encontrar a derivada dessa função em relação a . A derivada de é . Então, aplicando isso:

Passo 4

Vamos calcular a derivada da fração . Usando a regra do quociente:

Passo 5

Substituindo de volta na expressão da derivada :

Passo 6

Agora, vamos avaliar essa derivada em :

Passo 7

Sabemos que . Então:
Podemos dividir os dois lados por 2024:

Passo 8

Multiplicando ambos os lados por :
Somando em ambos os lados:

Resposta

A relação entre as constantes é .

Exercícios relacionados

Considere a função V:(0,+∞) -> R dada por
V(t) = (k t)^(k t)
onde k é uma constante positiva. O valor de V'(2/k) é
a) Ln(2^(raiz(2) * k))
b) Ln(2^(2 * raiz(2) * k))
c) Ln(2^k * raiz(2))
d) Ln(2^(raiz(2*k)))
Sabendo-se que y = cos(A x) + sen(A x) e que d^(2023)y/dx^(2023) | x=pi/A = 3, pode-se concluir que
a) A=1
b) A = raiz(3)(2023 * pi)
c) A = raiz(2023)(pi)
d) A = raiz(3) ^ (1/2023)
e) A = raiz(3 * pi)^(1/2023)
A equação da reta tangente ao gráfico da função f, no ponto p = (1 + e, pi/4) é da forma y = e * x + Constante, onde e constante de Euler. nestas condições, pode-se concluir que, para u = tg(f(x + ln x)), a taxa de variação du/dx | x=e vale:
a) 2(1+e)
b) 1 + e
c) e
d) raiz(2) * (1 + e)
Considere a função f(z) = e^(A z / (z - A)). Se a derivada de f, no ponto z = A + 1, vale -A^2 e^6, pode-se deduzir que:
a) A = -2
b) A=1
c) A=2
d) A=3