Resolva a equação
d/y = 2xy / (3x^2 - y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para resolver a equação:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de substituição e separação de variáveis. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a equação para torná-la mais fácil de resolver. Vamos rearranjar a equação original:
Multiplicando ambos os lados por , temos:
Isso nos ajuda a organizar os termos de maneira mais conveniente para o próximo passo.

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Vamos definir:
Isso significa que:
Agora, vamos calcular a derivada de em relação a :
Substituindo e na equação original, obtemos:
Simplificando:

Passo 4

Vamos simplificar ainda mais a equação resultante:
Dividindo ambos os lados por :
Expandindo o lado esquerdo:
Rearranjando os termos:
Simplificando:
Isolando :
Dividindo ambos os lados por :
Fatorando o numerador:

Passo 5

Agora, teremos uma equação separável. Vamos separar as variáveis e :
Isso nos permite integrar ambos os lados facilmente.

Passo 6

Vamos integrar os dois lados da equação:
Primeiro, vamos simplificar a fração do lado esquerdo. Podemos decompor em frações parciais:
Resolvendo para e :
Para :
Para :
Então:

Passo 7

Agora, substituímos de volta na integral:
Integrando termo a termo:
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Vamos substituir de volta na equação:
Simplificando os logaritmos:
Distribuindo os termos:
Rearranjando:
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Onde .

Passo 9

Podemos reescrever a equação exponenciando ambos os lados para resolver para :
Onde é uma nova constante.
Multiplicando ambos os lados por :
Essa é a forma implícita da solução geral da equação diferencial.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é dada por:
onde é uma constante arbitrária.

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