Considere a função
f(x)= x^2-1, & se -1 <= x<0 2 x, & se 0
Responda:
(g) f(x) é contínua em x=1 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir se a função é contínua em . Isso entra no conteúdo de continuidade de funções. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua em um ponto e calcular alguns limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se três condições forem satisfeitas:
  1. está definida.
  2. O limite de quando se aproxima de pela esquerda existe.
  3. O limite de quando se aproxima de pela direita existe.
  4. Esses dois limites são iguais e também iguais a .
Então, para verificar se é contínua em , vamos checar essas condições.

Passo 3

Primeiro, vamos ver se f(1) = 1 está definida. Olhando a função:
Então, a primeira condição tá ok.

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite de limx to 1^- f(x) = limx to 1^- 2x = 2 times 1 = 2 quando se aproxima de 1 pela esquerda ( ). Para próximo de 1 pela esquerda, usamos a definição da função para , que é .
Então, o limite pela esquerda é 2.

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite de limx to 1^+ f(x) = limx to 1^+ (-2x + 4) = -2 times 1 + 4 = 2 quando se aproxima de 1 pela direita ( ). Para próximo de 1 pela direita, usamos a definição da função para , que é .
Então, o limite pela direita também é 2.

Passo 6

Agora, vamos comparar os limites com limx to 1^- f(x) = 2 limx to 1^+ f(x) = 2 f(1) = 1 :
Vemos que os limites pela esquerda e pela direita são iguais entre si (2), mas são diferentes de (que é 1).

Resposta

Então, a função não é contínua em , porque os limites laterais são iguais a 2, mas vale 1.

Exercícios relacionados

Encontre o limite.
lim x 1 e^x^3-x
Considere uma equação na forma
M(x, y)+N(x, y) y^prime=0
que não seja exata, isto é, Nx neq My. Suponha que Nx-MyM=Q(y). Mostre que
mu(y)=exp (integral Q(y) d y)
é um fator integrante da equação. Use este resultado para resolver
d x+(xy-sen y) d y=0
Calcule
(f) lim x p raizx-raizpx-p (p neq 0)
Calcule
(o) lim x p 1x-p