que não seja exata, isto é, . Suponha que . Mostre que
é um fator integrante da equação. Use este resultado para resolver
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial na forma que não é exata, ou seja, . O objetivo é mostrar que uma função , definida como , é um fator integrante que torna a equação exata. Depois disso, vamos usar esse fator para resolver a equação diferencial dada:
Para isso, vamos precisar entender conceitos de equações exatas e fatores integrantes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação exata. Uma equação diferencial da forma é exata se . Quando não é exata, podemos procurar um fator integrante que, ao multiplicar a equação, a torne exata.
Aqui, nos foi dado que . Vamos usar essa informação para encontrar .
Passo 3
Sabemos que o fator integrante é dado por:
Isso significa que calculamos a integral de em relação a e depois aplicamos a função exponencial. Esse fator, quando multiplicado pela equação original, vai igualar as derivadas parciais e , tornando a equação exata.
Passo 4
Vamos aplicar isso na equação dada:
Aqui, podemos identificar:
Agora, calculamos e :
Então,
E
Passo 5
Agora, calculamos o fator integrante :
Então, o fator integrante é .
Passo 6
Multiplicamos a equação original pelo fator integrante :
Simplificando:
Agora, vamos verificar se a equação é exata:
Calculamos as derivadas parciais:
Como , a equação é exata.
Passo 7
Agora que a equação é exata, sabemos que existe uma função tal que:
Vamos integrar em relação a :
Agora, derivamos em relação a :
Igualamos a :
Então,
Integrando com respeito a :
Usamos integração por partes:
Então,
Portanto, a função é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é dada por: