(7 , 0) Considere a função de onda abaixo:
Psi(x)=lr A x & 0= a
A é a constante de normalização, real.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta uma função de onda, que basicamente descreve o comportamento de uma partícula em função da posição x. Nosso objetivo aqui é normalizar essa função. Normalizar significa ajustar a constante A de tal forma que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja igual a 1. Para isso, vamos precisar usar um pouquinho de cálculo integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função de onda que nos foi dada:
Psi(x) = A x & se 0 < x <= a2 A(a - x) & se a2 < x < a 0 & caso contrário á
Isso significa que a função de onda tem diferentes expressões dependendo do intervalo de x. Para normalizar Psi(x), precisamos garantir que a integral do quadrado da função de onda em todo o espaço seja igual a 1:
integral-infty^infty |Psi(x)|^2 dx = 1
Mas, como Psi(x) é zero fora do intervalo 0 < x < a, podemos simplificar a integral:
integral0^a |Psi(x)|^2 dx = 1

Passo 3

Agora, vamos dividir essa integral nos dois intervalos onde Psi(x) tem expressões diferentes:
  1. De 0 a a2:
Psi(x) = A x implies |Psi(x)|^2 = A^2 x^2
  1. De a2 a a:
Psi(x) = A(a - x) implies |Psi(x)|^2 = A^2 (a - x)^2
Então, nossa integral fica:
integral0^a2 A^2 x^2 dx + integrala2^a A^2 (a - x)^2 dx = 1

Passo 4

Vamos calcular cada integral separadamente.
  1. Primeira integral:
A^2 integral0^a2 x^2 dx = A^2 [ x^33 ]0^a2 = A^2 ( (a2)^33 ) = A^2 ( a^324 )
  1. Segunda integral:
A^2 integrala2^a (a - x)^2 dx
Fazendo a substituição u = a - x, du = -dx, os limites mudam para u = a2 quando x = a/2 e u = 0 quando x = a:
A^2 integrala2^0 u^2 (-du) = A^2 integral0^a2 u^2 du = A^2 [ u^33 ]0^a2 = A^2 ( (a2)^33 ) = A^2 ( a^324 )

Passo 5

Agora, somamos as duas integrais:
A^2 ( a^324 ) + A^2 ( a^324 ) = A^2 ( a^312 )
E igualamos a 1 para normalizar:
A^2 ( a^312 ) = 1 implies A^2 = 12a^3 implies A = raiz12a^3 = 2raiz3a^3/2

Resposta

A constante de normalização é $ A = \dfrac{2\sqrt{3}}{a^{3/2}} $.

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