(7 , 0) Considere a função de onda abaixo:
Psi(x)=lr A x & 0= a
A é a constante de normalização, real.
(3,0) Calcule o valor esperado para lang<= x^2rang<=.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de onda Psi(x) definida de maneira diferente em alguns intervalos de x. Nosso objetivo aqui é calcular o valor esperado de x^2, representado por lang<= x^2rang<=. Para fazer isso, vamos precisar entender conceitos de normalização de funções de onda e como calcular valores esperados usando integrais.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar o que é o valor esperado lang<= x^2rang<=. Em mecânica quântica, o valor esperado de uma quantidade, como x^2, nos dá uma média ponderada dessa quantidade sobre todas as posições possíveis, de acordo com a função de onda Psi(x). A fórmula para calcular lang<= x^2rang<= é:
lang<= x^2rang<= = integral-infty^infty x^2 |Psi(x)|^2 dx

Passo 3

Mas antes de calcular isso, precisamos garantir que nossa função de onda Psi(x) esteja normalizada. Isso significa que a integral de |Psi(x)|^2 em todo o espaço deve ser igual a 1:
integral-infty^infty |Psi(x)|^2 dx = 1
Vamos verificar a normalização da nossa função de onda.

Passo 4

A função de onda Psi(x) é definida da seguinte forma:
Psi(x)=lr A x & 0 < x <= a2 A(a - x) & a2 < x < a 0 & caso contrário á
Então, para normalizar, temos que calcular:
integral0^a2 |A x|^2 dx + integrala2^a |A(a - x)|^2 dx = 1

Passo 5

Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeiro, a primeira integral:
I1 = A^2 integral0^a2 x^2 dx
Calculando a integral:
I1 = A^2 [ x^33 ]0^a2 = A^2 ( (a2)^33 - 0 ) = A^2 ( a^324 )
Agora, a segunda integral:
I2 = A^2 integrala2^a (a - x)^2 dx
Fazendo uma substituição u = a - x, du = -dx, os limites se tornam de u = a2 a u = 0:
I2 = A^2 integral0^a2 u^2 du = A^2 [ u^33 ]0^a2 = A^2 ( (a2)^33 - 0 ) = A^2 ( a^324 )

Passo 6

Somando as duas integrais para igualar a 1:
I1 + I2 = A^2 a^324 + A^2 a^324 = A^2 a^312 = 1
Resolvendo para A^2:
A^2 = 12a^3
Portanto, a constante de normalização A é:
A = raiz12a^3

Passo 7

Agora que temos A, podemos calcular o valor esperado lang<= x^2rang<=:
lang<= x^2rang<= = integral0^a2 x^2 |Psi(x)|^2 dx + integrala2^a x^2 |Psi(x)|^2 dx
Substituindo |Psi(x)|^2 = A^2 x^2 e |Psi(x)|^2 = A^2 (a - x)^2 respectivamente:
lang<= x^2rang<= = A^2 integral0^a2 x^4 dx + A^2 integrala2^a x^2 (a - x)^2 dx

Passo 8

Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeiro, a primeira integral:
J1 = A^2 integral0^a2 x^4 dx = A^2 [ x^55 ]0^a2 = A^2 ( (a2)^55 ) = A^2 ( a^5160 )
Agora, a segunda integral:
J2 = A^2 integrala2^a x^2 (a - x)^2 dx
Expandindo (a - x)^2:
(a - x)^2 = a^2 - 2a x + x^2
Então:
J2 = A^2 integrala2^a x^2 (a^2 - 2a x + x^2) dx = A^2 integrala2^a (a^2 x^2 - 2a x^3 + x^4) dx
Calculando cada termo:
  1. $ \int a^{2} x^{2} dx = a^{2} \frac{x^{3}}{3} $
  2. $ \int -2a x^{3} dx = -2a \frac{x^{4}}{4} = -\frac{a x^{4}}{2} $
  3. $ \int x^{4} dx = \frac{x^{5}}{5} $
Então:
integral a^2 x^2 dx = a^2 x^33
Calculando nos limites:
Para integral -2a x^3 dx = -2a x^44 = -a x^42 :
integral x^4 dx = x^55
Para J2 = A^2 [ a^2 x^33 - a x^42 + x^55 ]a2^a :
x = a
Calculando as diferenças:
a^2 a^33 - a a^42 + a^55 = a^53 - a^52 + a^55
Simplificando os termos:
x = a2
Portanto:
a^2 (a2)^33 - a (a2)^42 + (a2)^55 = a^524 - a^532 + a^5160

Passo 9

Agora, somamos J1 e J2:
lang<= x^2rang<= = A^2 a^5160 + A^2 a^5160 = A^2 a^580
Lembrando que já encontramos A^2 = 12a^3:
lang<= x^2rang<= = 12a^3 cdot a^580 = 12 a^280 = 3 a^220

Resposta

O valor esperado de lang<= x^2rang<= é:
lang<= x^2rang<= = 3 a^220

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