) Considere um elétron em uma caixa unidimensional de comprimento
nm . Esse elétron é representado pela função de onda normalizada abaixo
).
Considerando o estado
, qual a probabilidade de encontrar o elétron entre 4,99 nm e 5,01 nm?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um elétron preso em uma caixa unidimensional com comprimento
nm. A função de onda do elétron é dada por
. Nosso objetivo aqui é descobrir a probabilidade de encontrar esse elétron entre 4,99 nm e 5,01 nm quando ele está no estado
. Para isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica, como função de onda e probabilidade associada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa essa função de onda
. Na mecânica quântica, a função de onda descreve o estado quântico de uma partícula, e o quadrado do módulo dessa função,
, nos dá a densidade de probabilidade de encontrar a partícula em uma posição
específica dentro da caixa.
Passo 3
Como precisamos da probabilidade de encontrar o elétron entre 4,99 nm e 5,01 nm, vamos calcular a integral da densidade de probabilidade
nesse intervalo. A fórmula geral para a probabilidade
é:
Aqui,
nm e
nm, e estamos considerando
.
Passo 4
Vamos substituir
e
nm na função de onda:
Agora, calculamos o quadrado dessa função para obter a densidade de probabilidade:
Passo 5
Agora, vamos integrar essa expressão de 4,99 nm a 5,01 nm para encontrar a probabilidade:
Passo 6
Para resolver essa integral, usamos uma identidade trigonométrica que nos ajuda a simplificar
:
Aplicando isso, a integral fica:
Passo 7
Agora, vamos integrar termo a termo:
A primeira integral é simples:
Para a segunda integral, usamos a substituição:
Então:
Simplificando os argumentos das funções seno:
$$
\frac{\pi \cdot 5,01}{5} = \pi \cdot 1,002 = \pi + 0,002\pi
\frac{\pi \cdot 5,01}{5} = \pi \cdot 1,002 = \pi + 0,002\pi
$$
E
$$
\frac{\pi \cdot 4,99}{5} = \pi \cdot 0,998 = \pi - 0,002\pi
\frac{\pi \cdot 4,99}{5} = \pi \cdot 0,998 = \pi - 0,002\pi
$$
Sabendo que
e
, temos:
Portanto:
Passo 8
Agora, substituímos os valores na expressão da probabilidade:
Calculando
:
Então,
Substituindo:
Resposta
A probabilidade de encontrar o elétron entre 4,99 nm e 5,01 nm no estado
é aproximadamente
.