( 8 , 0 ) Considere um elétron em uma caixa unidimensional de comprimento L=10,00 nm . Esse elétron é representado pela função de onda normalizada abaixo (Psin(x) ).
(4,0) Considerando o estado n=1, qual a probabilidade de encontrar o elétron entre 4,99 nm e 5,01 nm?
Psin(x)=raiz2L sen n piL x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um elétron preso em uma caixa unidimensional com comprimento L = 10,00 nm. A função de onda do elétron é dada por Psin(x)=raiz2L sen n piL x. Nosso objetivo aqui é descobrir a probabilidade de encontrar esse elétron entre 4,99 nm e 5,01 nm quando ele está no estado n=1. Para isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica, como função de onda e probabilidade associada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa essa função de onda Psin(x). Na mecânica quântica, a função de onda descreve o estado quântico de uma partícula, e o quadrado do módulo dessa função, |Psin(x)|^2, nos dá a densidade de probabilidade de encontrar a partícula em uma posição x específica dentro da caixa.

Passo 3

Como precisamos da probabilidade de encontrar o elétron entre 4,99 nm e 5,01 nm, vamos calcular a integral da densidade de probabilidade |Psi1(x)|^2 nesse intervalo. A fórmula geral para a probabilidade P é:
P = integrala^b |Psin(x)|^2 dx
Aqui, a = 4,99 nm e b = 5,01 nm, e estamos considerando n=1.

Passo 4

Vamos substituir n=1 e L=10,00 nm na função de onda:
Psi1(x) = raiz210 sen ( 1 cdot pi10 x ) = raiz0,2 sen ( pi x10 )
Agora, calculamos o quadrado dessa função para obter a densidade de probabilidade:
|Psi1(x)|^2 = ( raiz0,2 sen ( pi x10 ) )^2 = 0,2 cdot sen^2 ( pi x10 )

Passo 5

Agora, vamos integrar essa expressão de 4,99 nm a 5,01 nm para encontrar a probabilidade:
P = integral4,99^5,01 0,2 cdot sen^2 ( pi x10 ) dx

Passo 6

Para resolver essa integral, usamos uma identidade trigonométrica que nos ajuda a simplificar sen^2:
sen^2 theta = 1 - cos(2theta)2
Aplicando isso, a integral fica:
P = integral4,99^5,01 0,2 cdot 1 - cos( 2pi x10 )2 dx = 0,1 integral4,99^5,01 ( 1 - cos( pi x5 ) ) dx

Passo 7

Agora, vamos integrar termo a termo:
P = 0,1 [ integral4,99^5,01 1 , dx - integral4,99^5,01 cos( pi x5 ) dx ]
A primeira integral é simples:
integral4,99^5,01 1 , dx = 5,01 - 4,99 = 0,02 , nm
Para a segunda integral, usamos a substituição:
integral cos( pi x5 ) dx = 5pi sin( pi x5 ) + C
Então:
integral4,99^5,01 cos( pi x5 ) dx = 5pi [ sin( pi cdot 5,015 ) - sin( pi cdot 4,995 ) ]
Simplificando os argumentos das funções seno:
$$
\frac{\pi \cdot 5,01}{5} = \pi \cdot 1,002 = \pi + 0,002\pi
$$
E
$$
\frac{\pi \cdot 4,99}{5} = \pi \cdot 0,998 = \pi - 0,002\pi
$$
Sabendo que pi cdot 5,015 = pi cdot 1,002 = pi + 0,002pi e pi cdot 4,995 = pi cdot 0,998 = pi - 0,002pi , temos:
sin(pi + theta) = -sin theta
sin(pi - theta) = sin theta
Portanto:
sin(pi + 0,002pi) = -sin(0,002pi)

Passo 8

Agora, substituímos os valores na expressão da probabilidade:
P = 0,1 [ 0,02 - ( -10pi sin(0,002pi) ) ] = 0,1 [ 0,02 + 10pi sin(0,002pi) ]
Calculando sin(0,002pi):
0,002pi approx 0,00628 radianos
Então,
sin(0,00628) approx 0,00628
Substituindo:
P = 0,1 [ 0,02 + 10pi cdot 0,00628 ] approx 0,1 [ 0,02 + 0,02 ] = 0,1 cdot 0,04 = 0,004

Resposta

A probabilidade de encontrar o elétron entre 4,99 nm e 5,01 nm no estado n=1 é aproximadamente 0,4%.

Exercícios relacionados