5- Considere que a função de onda de um elétron confinado em uma caixa unidimensional de comprimento L seja dada por:
r psi(x)=cos (pi xL) ; -L / 2 <= x <=+L / 2 psi(x)=0, |x|>L / 2
c. Em caso negativo, normalize-a.

Passo 1

Então, o que o enunciado está pedindo? Temos a função de onda de um elétron confinado em uma caixa unidimensional com comprimento psi(x) = cos (pi xL), & -L2 <= x <= L2 0, & |x| > L2 :
A pergunta é: Esta função está normalizada? Se não estiver, precisamos normalizá-la. Para resolver isso, vamos lembrar que uma função de onda deve satisfazer a condição de normalização na mecânica quântica, ou seja, a integral do quadrado da função de onda sobre todo o espaço deve ser igual a 1.

Passo 2

A condição de normalização é dada por:
integral-infty^+infty |psi(x)|^2 , dx = 1
Como a função integral-L2^L2 cos^2(pi xL) , dx = 1 é zero fora do intervalo a , podemos simplificar a integral para:

Passo 3

Vamos calcular a integral:
integral-L2^L2 cos^2(pi xL) , dx
Para facilitar, usamos uma identidade trigonométrica que nos ajuda a integrar o cosseno ao quadrado:
cos^2 theta = 1 + cos(2theta)2

Passo 4

Aplicando a identidade na nossa integral:
integral-L2^L2 1 + cos(2pi xL)2 , dx = 12 integral-L2^L2 1 , dx + 12 integral-L2^L2 cos(2pi xL) , dx

Passo 5

Calculando cada parte separadamente:
  1. Primeira integral:
12 integral-L2^L2 1 , dx = 12 cdot L = L2
  1. Segunda integral:
12 integral-L2^L2 cos(2pi xL) , dx
Essa integral de cosseno completa um número inteiro de períodos, o que faz com que o resultado seja zero:
12 cdot 0 = 0

Passo 6

Somando os resultados das duas integrais:
L2 + 0 = L2
A integral do quadrado da função de onda é , que não é igual a 1. Portanto, a função não está normalizada.

Passo 7

Para normalizar a função de onda, precisamos encontrar um fator de normalização A^2 cdot L2 = 1 implies A = raiz2L tal que:
psinormalizada(x) = raiz2L cos(pi xL)
Multiplicando a função original por :

Resposta

A função de onda normalizada é:
psi(x) = raiz2L cos(pi xL)

Exercícios relacionados