5- Considere que a função de onda de um elétron confinado em uma caixa unidimensional de comprimento L seja dada por:
c. Em caso negativo, normalize-a.

Passo 1

Então, o que o enunciado está pedindo? Temos a função de onda de um elétron confinado em uma caixa unidimensional com comprimento :
A pergunta é: Esta função está normalizada? Se não estiver, precisamos normalizá-la. Para resolver isso, vamos lembrar que uma função de onda deve satisfazer a condição de normalização na mecânica quântica, ou seja, a integral do quadrado da função de onda sobre todo o espaço deve ser igual a 1.

Passo 2

A condição de normalização é dada por:
Como a função é zero fora do intervalo a , podemos simplificar a integral para:

Passo 3

Vamos calcular a integral:
Para facilitar, usamos uma identidade trigonométrica que nos ajuda a integrar o cosseno ao quadrado:

Passo 4

Aplicando a identidade na nossa integral:

Passo 5

Calculando cada parte separadamente:
  1. Primeira integral:
  1. Segunda integral:
Essa integral de cosseno completa um número inteiro de períodos, o que faz com que o resultado seja zero:

Passo 6

Somando os resultados das duas integrais:
A integral do quadrado da função de onda é , que não é igual a 1. Portanto, a função não está normalizada.

Passo 7

Para normalizar a função de onda, precisamos encontrar um fator de normalização tal que:
Multiplicando a função original por :

Resposta

A função de onda normalizada é:

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