Calcular integral duplaR cos (x^2+9 y^2) d x d y, sendo R a região limitada por x^2+9 y^2 <= 1 e x >= 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla de sobre a região , que é limitada pela elipse e pelo lado onde . Para isso, vamos usar algumas técnicas de cálculo integral e mudança de coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a região de integração. A equação u = x e v = 3y descreve uma elipse. Para facilitar, vamos fazer uma mudança de variável que transforma essa elipse em um círculo.
Vamos definir:
u^2 + v^2 <= 1
Com essa mudança, a equação da elipse fica:
Agora, e variam dentro de um círculo unitário. Mas precisamos ajustar o diferencial de área para .

Passo 3

Calculamos o Jacobiano dessa transformação para ajustar o diferencial:
[
\frac{\partial(u, v)}{\partial(x, y)} =
partial(u, v)partial(x, y) = partial upartial x & partial upartial y partial vpartial x & partial vpartial y = 1 & 0 0 & 3 = 3

dx,dy = 13 du,dv
= 3
]
Então, o diferencial de área se transforma assim:

Passo 4

Agora, nossa integral fica:
integral duplaR cos(x^2 + 9y^2),dx,dy = 13 integral duplau^2 + v^2 <= 1, u >= 0 cos(u^2 + v^2),du,dv
Vemos que representa metade do círculo unitário no plano .

Passo 5

Para calcular essa integral, vamos mudar para coordenadas polares. Definimos:
u = r cos theta e v = r sin theta
Onde du,dv = r,dr,dtheta varia de 0 a 1 e varia de a para cobrir a metade do círculo onde .
O diferencial em coordenadas polares é:

Passo 6

Substituindo tudo na integral, temos:
13 integral-pi2^pi2 integral0^1 cos(r^2) cdot r,dr,dtheta
Primeiro, vamos resolver a integral interna em integral0^1 cos(r^2) cdot r,dr :
12 integral0^1 cos(u),du = 12 [sin(u)]0^1 = 12 (sin(1) - 0) = sin(1)2
Fazendo a substituição , , conseguimos:

Passo 7

Agora, substituímos de volta na integral:
13 integral-pi2^pi2 sin(1)2,dtheta = sin(1)6 integral-pi2^pi2 dtheta = sin(1)6 cdot pi = pi sin(1)6

Resposta

A integral dupla vale .

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