Calcular , sendo R a região limitada por e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla de sobre a região , que é limitada pela elipse e pelo lado onde . Para isso, vamos usar algumas técnicas de cálculo integral e mudança de coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a região de integração. A equação descreve uma elipse. Para facilitar, vamos fazer uma mudança de variável que transforma essa elipse em um círculo.
Vamos definir:
Com essa mudança, a equação da elipse fica:
Agora, e variam dentro de um círculo unitário. Mas precisamos ajustar o diferencial de área para .

Passo 3

Calculamos o Jacobiano dessa transformação para ajustar o diferencial:
[
\frac{\partial(u, v)}{\partial(x, y)} =


= 3
]
Então, o diferencial de área se transforma assim:

Passo 4

Agora, nossa integral fica:
Vemos que representa metade do círculo unitário no plano .

Passo 5

Para calcular essa integral, vamos mudar para coordenadas polares. Definimos:
Onde varia de 0 a 1 e varia de a para cobrir a metade do círculo onde .
O diferencial em coordenadas polares é:

Passo 6

Substituindo tudo na integral, temos:
Primeiro, vamos resolver a integral interna em :
Fazendo a substituição , , conseguimos:

Passo 7

Agora, substituímos de volta na integral:

Resposta

A integral dupla vale .

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