9- A energia do oscilador harmônico linear é dada por
E=p^22 m+12 m omega^2 x^2
em que m é a massa da partícula em movimento harmônico simples e omega é a freqüência da oscilação. (b) mostre que a energia mínima do oscilador é 1 / 2 hbar omega, chamada energia do ponto zero. (Dica: encontre os mínimos da energia em relação a )

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a energia de um oscilador harmônico linear, que é dado por:
E = p^22m + 12 m omega^2 x^2
Aqui, é a massa da partícula e é a frequência da oscilação. O que a gente precisa mostrar é que a energia mínima desse sistema é , que chamamos de energia do ponto zero. Para isso, vamos seguir a dica e encontrar os mínimos da energia em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Esse símbolo representa o valor de expectativa de , ou seja, a média quadrática da posição da partícula. Na mecânica quântica, a partícula não está em uma posição fixa, mas sim espalhada em torno de um ponto. Então, para encontrar a energia mínima, precisamos expressar a energia em termos de .

Passo 3

Agora, vamos reescrever a energia De= hbar2 usando De. A energia cinética média lang<= p^2 rang<= = hbar^24 lang<= x^2 rang<= está relacionada à energia potencial através do princípio da incerteza de Heisenberg, que nos diz que há uma relação entre as incertezas de posição e momento:
Para minimizar a energia, assumimos que essa incerteza é saturada, ou seja:
Isso nos dá uma relação entre e :

Passo 4

Substituindo E = lang<= p^2 rang<=2m + 12 m omega^2 lang<= x^2 rang<= = hbar^28m lang<= x^2 rang<= + 12 m omega^2 lang<= x^2 rang<= na expressão da energia, temos:

Passo 5

Agora, queremos encontrar o valor de dEd lang<= x^2 rang<= = -hbar^28m lang<= x^2 rang<=^2 + 12 m omega^2 = 0 que minimiza . Para isso, derivamos em relação a e igualamos a zero:

Passo 6

Resolvendo para hbar^28m lang<= x^2 rang<=^2 = 12 m omega^2 :
hbar^2 = 4m^2 omega^2 lang<= x^2 rang<=^2
Multiplicando ambos os lados por lang<= x^2 rang<= = hbar2m omega :
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados:

Passo 7

Agora, substituímos Emin = hbar^28m cdot hbar2m omega + 12 m omega^2 cdot hbar2m omega = hbar omega4 + hbar omega4 = 12 hbar omega de volta na expressão da energia mínima:

Resposta

A energia mínima do oscilador é , conhecida como energia do ponto zero.

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