9- A energia do oscilador harmônico linear é dada por
em que
é a massa da partícula em movimento harmônico simples e
é a freqüência da oscilação. (b) mostre que a energia mínima do oscilador é
, chamada energia do ponto zero. (Dica: encontre os mínimos da energia em relação a
)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a energia de um oscilador harmônico linear, que é dado por:
Aqui,
é a massa da partícula e
é a frequência da oscilação. O que a gente precisa mostrar é que a energia mínima desse sistema é
, que chamamos de energia do ponto zero. Para isso, vamos seguir a dica e encontrar os mínimos da energia em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Esse símbolo representa o valor de expectativa de
, ou seja, a média quadrática da posição da partícula. Na mecânica quântica, a partícula não está em uma posição fixa, mas sim espalhada em torno de um ponto. Então, para encontrar a energia mínima, precisamos expressar a energia
em termos de
.
Passo 3
Agora, vamos reescrever a energia
usando
. A energia cinética média
está relacionada à energia potencial através do princípio da incerteza de Heisenberg, que nos diz que há uma relação entre as incertezas de posição e momento:
Para minimizar a energia, assumimos que essa incerteza é saturada, ou seja:
Isso nos dá uma relação entre
e
:
Passo 4
Substituindo
na expressão da energia, temos:
Passo 5
Agora, queremos encontrar o valor de
que minimiza
. Para isso, derivamos
em relação a
e igualamos a zero:
Passo 6
Resolvendo para
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados:
Passo 7
Agora, substituímos
de volta na expressão da energia mínima:
Resposta
A energia mínima do oscilador é
, conhecida como energia do ponto zero.
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?
Átomo de Hidrogênio
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no máximo 6 , e a subcamada
no máximo 10 .
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) para esse elétron;
Os conjuntos de números quânticos possíveis para um elétron em um orbital 5 p são tais que:
Os conjuntos de números quânticos possíveis para um elétron em um orbital 5 p são tais que: