Considere a função
f(x, y)=cc sen(x^2+y^2)(x^2+y^2), & (x, y) neq(0,0) 0, & (x, y)=(0,0)
a) Calcule, se existir, o limite de f quando (x, y) tende para (0,0). Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é uma função de duas variáveis, , que é definida de duas maneiras diferentes dependendo de onde estamos no plano. A gente precisa calcular o limite dessa função quando se aproxima de . Para isso, vamos usar conceitos de limites em funções de várias variáveis e ver se conseguimos simplificar essa expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a expressão principal da função quando f(x, y) = sin(x^2 + y^2)x^2 + y^2 :
O que a gente precisa entender aqui é como o numerador e o denominador se comportam quando e estão indo para 0.

Passo 3

Vamos fazer uma substituição: seja f(r) = sin(r^2)r^2 . Isso é útil porque, quando se aproxima de , também vai para 0. Com essa substituição, a função fica:
Agora, nossa tarefa é encontrar o limite de quando tende a 0.

Passo 4

Lembrando de um limite conhecido da análise:
limu to 0 sin uu = 1
Aqui, se a gente deixar limr to 0 sin(r^2)r^2 = 1 , então:
Portanto, o limite da nossa função quando tende a é 1.

Resposta

O limite de quando tende para é igual a 1.

Exercícios relacionados

Função de várias variáveis: Considere a função f(x, y) = 1 / raiz(y - raiz(x)).
a) Descreva a região D no plano XY que corresponde ao domínio da função dada.
Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções:
e) z = raiz(a^2 - x^2 - y^2)
Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções:
g) z = (x + y) e^(x + 2y)
A temperatura em um ponto (x, y) de uma placa plana de metal é dada por T(x, y) = 60 / (1 + x^2 + y^2), onde T é medido em ° C e x, y em metros. Determine a taxa de variação da temperatura com relação à distância no ponto (2,1) em (b) a direção do eixo y.