Função de várias variáveis: Considere a função
.
a) Descreva a região
no plano XY que corresponde ao domínio da função dada.
a) Descreva a região
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos a função de duas variáveis
. Precisamos encontrar a região
no plano XY onde essa função está definida, ou seja, determinar todos os pares
que tornam a função válida. Para isso, vamos analisar as condições que garantem que o denominador da fração seja um número real e diferente de zero.
Passo 2
Vamos olhar para o denominador
. Para que a expressão dentro da raiz quadrada seja real e definida, precisamos que:
Isso garante que o radicando seja positivo, já que a raiz quadrada de um número não positivo não está definida nos números reais.
Passo 3
Além disso, dentro da expressão
, o próprio radicando
também precisa ser não negativo:
Isso porque a raiz quadrada de um número negativo não está definida nos números reais.
Passo 4
Agora, temos duas condições que precisam ser satisfeitas simultaneamente:
Podemos reescrever a segunda condição para facilitar a visualização da região:
Passo 5
Vamos interpretar essas condições no plano XY:
- A condição
significa que consideramos apenas os valores de à direita do eixo Y. - A condição
descreve a região acima da curva .
Passo 6
Juntando essas duas condições, a região
corresponde a todos os pontos
onde:
-
é maior ou igual a zero. -
é maior que .
Isso representa a área no plano XY que está à direita do eixo Y e acima da curva
.
Resposta
A região
no plano XY que corresponde ao domínio da função
é o conjunto de todos os pontos
tais que:
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tende para
. Justifique sua resposta.
Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções:
g)
g)