Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções:
g)
g)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem em relação a
e
. Isso envolve o conceito de derivadas parciais, que mostram como a função muda quando a gente varia apenas uma das variáveis, mantendo a outra constante.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Como
é o produto de
e
, vamos usar a regra do produto. A regra do produto diz que a derivada de um produto de duas funções é a derivada da primeira função vezes a segunda, mais a primeira função vezes a derivada da segunda.
Então, aplicando a regra do produto:
Agora, vamos calcular cada parte:
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de
em relação a :
Aqui, usamos a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é
. No nosso caso,
, então:
Agora, substituindo de volta na expressão da derivada parcial:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Novamente, usamos a regra do produto.
Vamos calcular cada parte:
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de
em relação a :
Usando novamente a regra da cadeia:
Substituindo na expressão da derivada parcial:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
e
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Considere a função
a) Calcule, se existir, o limite de f quando
tende para
. Justifique sua resposta.
Função de várias variáveis: Considere a função
.
a) Descreva a região no plano XY que corresponde ao domínio da função dada.
a) Descreva a região
A temperatura em um ponto
de uma placa plana de metal é dada por
, onde
é medido em
e
em metros. Determine a taxa de variação da temperatura com relação à distância no ponto (2,1) em (b) a direção do eixo
.
Calcular o valor de
para que a função dada seja contínua em
: