Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções:
g) z = (x + y) e^(x + 2y)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem em relação a e . Isso envolve o conceito de derivadas parciais, que mostram como a função muda quando a gente varia apenas uma das variáveis, mantendo a outra constante.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Como é o produto de e , vamos usar a regra do produto. A regra do produto diz que a derivada de um produto de duas funções é a derivada da primeira função vezes a segunda, mais a primeira função vezes a derivada da segunda.
Então, aplicando a regra do produto:
Agora, vamos calcular cada parte:
  1. Derivada de em relação a :
  1. Derivada de em relação a :
Aqui, usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é . No nosso caso, , então:
Agora, substituindo de volta na expressão da derivada parcial:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Novamente, usamos a regra do produto.
Vamos calcular cada parte:
  1. Derivada de em relação a :
  1. Derivada de em relação a :
Usando novamente a regra da cadeia:
Substituindo na expressão da derivada parcial:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
e

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