Considere a função tabelada abaixo.
|
0.1 | 0.2 | 0.4 | 0.6 | 0.7 |
---|---|---|---|---|---|
|
0.905 | 0.819 | 0.673 | 0.549 | 0.490 |
Utilize a fórmula de Newton para obter uma aproximação para
por meio de um polinômio interpolador de grau 2 .
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma tabela com valores de
e
. O objetivo é usar a fórmula de Newton para encontrar uma aproximação de
utilizando um polinômio interpolador de grau 2. Para isso, vamos precisar usar os conceitos de interpolação polinomial e os diferenciais divididos de Newton.
Passo 2
Primeiro, precisamos escolher três pontos da tabela que estejam próximos de
. Observando os valores de
, os mais próximos de 0.3 são 0.1, 0.2 e 0.4. Esses pontos serão usados para construir o polinômio interpolador de grau 2.
Passo 3
Vamos lembrar que um polinômio interpolador de Newton de grau 2 tem a forma:
Aqui,
e
são os diferenciais divididos, que calculamos a partir dos valores de
nos pontos escolhidos.
Passo 4
Vamos calcular os diferenciais divididos necessários. Primeiro, identifique os pontos:
-
, -
, -
,
Calculamos o primeiro diferencial dividido:
Agora, o segundo diferencial dividido:
Primeiro, calculamos
:
Agora, substituindo:
Passo 5
Com os diferenciais divididos calculados, podemos escrever o polinômio interpolador de grau 2:
Passo 6
Agora, vamos substituir
na expressão para encontrar
:
Primeiro, calculamos cada termo:
Substituindo:
Calculando cada parte:
Agora, somando tudo:
Resposta
A aproximação para
usando o polinômio interpolador de grau 2 é aproximadamente
.
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