Considere a função tabelada abaixo.
0.1 0.2 0.4 0.6 0.7
0.905 0.819 0.673 0.549 0.490
Utilize a fórmula de Newton para obter uma aproximação para por meio de um polinômio interpolador de grau 2 .

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma tabela com valores de e . O objetivo é usar a fórmula de Newton para encontrar uma aproximação de utilizando um polinômio interpolador de grau 2. Para isso, vamos precisar usar os conceitos de interpolação polinomial e os diferenciais divididos de Newton.

Passo 2

Primeiro, precisamos escolher três pontos da tabela que estejam próximos de . Observando os valores de , os mais próximos de 0.3 são 0.1, 0.2 e 0.4. Esses pontos serão usados para construir o polinômio interpolador de grau 2.

Passo 3

Vamos lembrar que um polinômio interpolador de Newton de grau 2 tem a forma:
Aqui, e são os diferenciais divididos, que calculamos a partir dos valores de nos pontos escolhidos.

Passo 4

Vamos calcular os diferenciais divididos necessários. Primeiro, identifique os pontos:
  • ,
  • ,
  • ,
Calculamos o primeiro diferencial dividido:
Agora, o segundo diferencial dividido:
Primeiro, calculamos :
Agora, substituindo:

Passo 5

Com os diferenciais divididos calculados, podemos escrever o polinômio interpolador de grau 2:

Passo 6

Agora, vamos substituir na expressão para encontrar :
Primeiro, calculamos cada termo:
Substituindo:
Calculando cada parte:
Agora, somando tudo:

Resposta

A aproximação para usando o polinômio interpolador de grau 2 é aproximadamente .

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