Faça o estudo de sinal da função f(x) = -x^2 + x + 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente fazer o estudo de sinal da função . Isso significa que vamos descobrir onde a função é positiva ou negativa, encontrar seus zeros (onde ela cruza o eixo x), e ver outras características importantes. Para isso, vamos usar conhecimentos de funções quadráticas da álgebra.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os zeros da função, ou seja, os valores de que fazem . Isso é resolvendo a equação:
Podemos multiplicar tudo por -1 pra facilitar:
Agora, vamos usar a fórmula de Bhaskara para resolver essa equação quadrática:
Onde , e . Substituindo:
Assim, temos:
Então, os zeros da função são e .

Passo 3

Agora, vamos analisar o coeficiente de na função original, que é -1. Como o coeficiente é negativo, sabemos que a parábola dessa função está voltada para baixo, ou seja, tem um ponto máximo.

Passo 4

Vamos encontrar as coordenadas do vértice da parábola, que nos dá o ponto máximo da função. A fórmula para o eixo de simetria é:
Substituindo na função para encontrar :
Portanto, o vértice é .

Passo 5

Finalmente, vamos determinar onde a função é positiva ou negativa usando os zeros encontrados e o comportamento da parábola:
  • Para : Escolhemos um valor, por exemplo, :
  • Para : Escolhemos :
  • Para : Escolhemos :
Assim, a função é positiva entre e , e negativa fora desse intervalo.

Resposta

A função é positiva no intervalo e negativa para e . Ela atinge o ponto máximo em com .

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