Faça o estudo de sinal da função
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente fazer o estudo de sinal da função
. Isso significa que vamos descobrir onde a função é positiva ou negativa, encontrar seus zeros (onde ela cruza o eixo x), e ver outras características importantes. Para isso, vamos usar conhecimentos de funções quadráticas da álgebra.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os zeros da função, ou seja, os valores de
que fazem
. Isso é resolvendo a equação:
Podemos multiplicar tudo por -1 pra facilitar:
Agora, vamos usar a fórmula de Bhaskara para resolver essa equação quadrática:
Onde
,
e
. Substituindo:
Assim, temos:
Então, os zeros da função são
e
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o coeficiente de
na função original, que é -1. Como o coeficiente é negativo, sabemos que a parábola dessa função está voltada para baixo, ou seja, tem um ponto máximo.
Passo 4
Vamos encontrar as coordenadas do vértice da parábola, que nos dá o ponto máximo da função. A fórmula para o eixo de simetria é:
Substituindo
na função para encontrar
:
Portanto, o vértice é
.
Passo 5
Finalmente, vamos determinar onde a função é positiva ou negativa usando os zeros encontrados e o comportamento da parábola:
-
Para
: Escolhemos um valor, por exemplo, : -
Para
: Escolhemos : -
Para
: Escolhemos :
Assim, a função é positiva entre
e
, e negativa fora desse intervalo.
Resposta
A função
é positiva no intervalo
e negativa para
e
. Ela atinge o ponto máximo em
com
.