Sejam dados o conjunto de pontos
. Encontre a função
que melhor se ajusta no sentido de mínimos quadrados aos pontos dados. Faça, então, um gráfico com os pontos e o esboço da função ajustada.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos três pontos no plano:
,
e
. A tarefa é encontrar uma função linear da forma
que melhor se ajusta a esses pontos usando o método dos mínimos quadrados. Para resolver isso, vamos precisar aplicar conceitos de regressão linear e álgebra básica.
Passo 2
O método dos mínimos quadrados busca minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os valores previstos pela função. Neste caso, queremos minimizar a soma
para cada ponto
.
Passo 3
Para encontrar os coeficientes
e
, precisamos resolver um sistema de equações normalizadas. Primeiro, calculamos as somas necessárias:
Passo 4
Agora, montamos o sistema de equações normalizadas:
Substituindo os valores calculados:
Passo 5
Resolvendo o sistema:
Primeiro, da primeira equação:
Substituindo
na segunda equação:
Agora, substituindo
de volta para encontrar
:
Resposta
A função que melhor se ajusta aos pontos dados é:
Exercícios relacionados
Considere a função tabelada abaixo.
|
0.1 | 0.2 | 0.4 | 0.6 | 0.7 |
---|---|---|---|---|---|
|
0.905 | 0.819 | 0.673 | 0.549 | 0.490 |
Utilize a fórmula de Newton para obter uma aproximação para
por meio de um polinômio interpolador de grau 2 .
Calcule o valor exato da integral
Aproxime o valor desta integral usando a regra de Simpson para
e
. Como você avalia a qualidade do resultado obtido? Por que isso acontece.
Faça o estudo de sinal da função
Encontre
nas equações logarítmicas abaixo