Considere a função vetorial
, dada por
© Podemos afirmar que esse campo vetorial é um campo conservativo?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um campo vetorial dado por
A questão pergunta se esse campo vetorial é um campo conservativo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um campo conservativo e como verificar se um campo dado possui essa propriedade.
Passo 2
Primeiro, o que é um campo conservativo? Um campo vetorial é conservativo se existe uma função escalar
tal que
onde
é o gradiente de
. Em termos simples, isso significa que o trabalho realizado por
ao mover uma partícula de um ponto a outro depende apenas dos pontos inicial e final, e não do caminho seguido.
Passo 3
Uma das maneiras de verificar se um campo é conservativo é calculando o rotacional desse campo. Em duas dimensões, o rotacional de
é dado por
Se o rotacional for zero em toda a região considerada e o domínio for simplesmente conexo (ou seja, sem “furos” ou obstáculos), então o campo é conservativo.
Passo 4
Vamos calcular as componentes
e
do campo
:
Agora, calculamos as derivadas parciais necessárias:
Usando a regra do quociente:
Agora, calculamos
:
Novamente, aplicando a regra do quociente:
Passo 5
Agora, calculamos o rotacional:
O rotacional é zero em todo lugar onde
, ou seja, em todo o plano menos na origem.
Passo 6
Embora o rotacional seja zero onde o campo está definido, precisamos verificar se o domínio é simplesmente conexo. No caso, o domínio é todo o plano menos o ponto
, o que significa que há um “furo” na origem. Isso faz com que o domínio não seja simplesmente conexo.
Resposta
Não, o campo vetorial
não é conservativo.
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Resolva:
Quantas representações decimais o número 1 tem?
Se
, onde
. Encontre curvas
e
que satisfaçam as equaçōes.
(b) .
(b)
Calcule
, onde
é o triângulo de vértices
e
percorrido no
sentido anti-horário.
sentido anti-horário.