Considere a função vetorial F, dada por
F(x, y) = -y / (x^2 + y^2) i + x / (x^2 + y^2) j
© Podemos afirmar que esse campo vetorial é um campo conservativo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um campo vetorial dado por
A questão pergunta se esse campo vetorial é um campo conservativo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um campo conservativo e como verificar se um campo dado possui essa propriedade.

Passo 2

Primeiro, o que é um campo conservativo? Um campo vetorial é conservativo se existe uma função escalar tal que
onde é o gradiente de . Em termos simples, isso significa que o trabalho realizado por ao mover uma partícula de um ponto a outro depende apenas dos pontos inicial e final, e não do caminho seguido.

Passo 3

Uma das maneiras de verificar se um campo é conservativo é calculando o rotacional desse campo. Em duas dimensões, o rotacional de é dado por
Se o rotacional for zero em toda a região considerada e o domínio for simplesmente conexo (ou seja, sem “furos” ou obstáculos), então o campo é conservativo.

Passo 4

Vamos calcular as componentes e do campo :
Agora, calculamos as derivadas parciais necessárias:
Usando a regra do quociente:
Agora, calculamos :
Novamente, aplicando a regra do quociente:

Passo 5

Agora, calculamos o rotacional:
O rotacional é zero em todo lugar onde , ou seja, em todo o plano menos na origem.

Passo 6

Embora o rotacional seja zero onde o campo está definido, precisamos verificar se o domínio é simplesmente conexo. No caso, o domínio é todo o plano menos o ponto , o que significa que há um “furo” na origem. Isso faz com que o domínio não seja simplesmente conexo.

Resposta

Não, o campo vetorial não é conservativo.

Exercícios relacionados

Resolva: y' - y^2 + y + 2 = 0
Quantas representações decimais o número 1 tem?
Se F=nabla f, onde f(x, y)=sen(x-y). Encontre curvas C1 e C2 que satisfaçam as equaçōes.
(b) integralC2 F cdot d r=1.
Calcule integralC(e^x-y) d x+(x+y cdot sen y) d y, onde C é o triângulo de vértices (0,0),(2,0) e (0,2) percorrido no
sentido anti-horário.