Resolva: y' - y^2 + y + 2 = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Essa é uma equação diferencial de primeira ordem que envolve termos não lineares devido ao . Para resolver, vamos usar técnicas de separação de variáveis e frações parciais. Precisaremos manipular a equação para isolar e depois integrar ambos os lados.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar (a derivada de em relação a ) sozinho:
Agora temos:

Passo 3

Vamos separar as variáveis e para facilitar a integração. Dividimos ambos os lados por e multiplicamos por :

Passo 4

Para integrar o lado esquerdo, precisamos fatorar o denominador . Vamos encontrar dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e :
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, usamos frações parciais para decompor . Procuramos constantes e tais que:
Multiplicando ambos os lados por , obtemos:
Para encontrar e , escolhemos valores de que simplificam a equação:
  • Se :
  • Se :
Então, temos:

Passo 6

Substituímos de volta na integral:
Integrando ambos os lados:
onde é a constante de integração.

Passo 7

Podemos simplificar a expressão combinando os logaritmos:
Multiplicando ambos os lados por 3:
onde ainda é uma constante arbitrária.

Passo 8

Para eliminar o logaritmo, aplicamos a exponenciação em ambos os lados:
onde é uma nova constante.

Passo 9

Agora, resolvemos para :
Distribuindo :
Reagrupando os termos com :
Fatorando :
Finalmente, isolando :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

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