Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Essa é uma equação diferencial de primeira ordem que envolve termos não lineares devido ao . Para resolver, vamos usar técnicas de separação de variáveis e frações parciais. Precisaremos manipular a equação para isolar e depois integrar ambos os lados.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar (a derivada de em relação a ) sozinho:
Agora temos:
Passo 3
Vamos separar as variáveis e para facilitar a integração. Dividimos ambos os lados por e multiplicamos por :
Passo 4
Para integrar o lado esquerdo, precisamos fatorar o denominador . Vamos encontrar dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e :
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, usamos frações parciais para decompor . Procuramos constantes e tais que:
Multiplicando ambos os lados por , obtemos:
Para encontrar e , escolhemos valores de que simplificam a equação:
Se :
Se :
Então, temos:
Passo 6
Substituímos de volta na integral:
Integrando ambos os lados:
onde é a constante de integração.
Passo 7
Podemos simplificar a expressão combinando os logaritmos:
Multiplicando ambos os lados por 3:
onde ainda é uma constante arbitrária.
Passo 8
Para eliminar o logaritmo, aplicamos a exponenciação em ambos os lados: