Se F=nabla f, onde f(x, y)=sen(x-y). Encontre curvas C1 e C2 que satisfaçam as equaçōes.
(b) integralC2 F cdot d r=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá um campo vetorial F que é o gradiente de uma função f(x, y) = sin(x - y). Nosso objetivo aqui é encontrar uma curva C2 tal que a integral de linha de F ao longo dessa curva seja igual a 1. Vamos precisar entender conceitos de cálculo vetorial, como campos conservativos, gradiente e integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se F = nabla f, então F é um campo conservativo. Isso significa que a integral de linha de F entre dois pontos depende apenas dos valores de f nesses pontos. A fórmula para a integral de linha em um campo conservativo é:
integralC F cdot dr = f(B) - f(A)
onde A e B são os pontos inicial e final da curva C.

Passo 3

Como queremos que essa integral seja igual a 1, podemos escrever:
f(B) - f(A) = 1
Substituindo f(x, y) = sin(x - y), temos:
sin(bx - by) - sin(ax - ay) = 1

Passo 4

Agora, precisamos encontrar pontos A = (ax, ay) e B = (bx, by) que satisfaçam essa equação. Por exemplo, vamos escolher A = (0, 0). Então:
sin(bx - by) - sin(0 - 0) = sin(bx - by) = 1
Sabemos que sin(theta) = 1 quando theta = pi2 + 2kpi, onde k é um inteiro.

Passo 5

Portanto, precisamos que:
bx - by = pi2 + 2kpi
Podemos escolher k=0 para simplificar, então:
bx - by = pi2
Isso significa que qualquer ponto B que satisfaça essa relação com A = (0,0) será válido.

Passo 6

Agora, a curva C2 pode ser qualquer caminho que vá de A a B, desde que bx - by = pi2. Por exemplo, podemos escolher uma reta que conecta A a B.

Resposta

Uma curva C2 que conecta o ponto (0, 0) a um ponto (bx, by) onde bx - by = pi2. Por exemplo, a linha reta de (0, 0) a (pi2, 0) satisfaz integralC2 F cdot d r = 1.

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