Se
, onde
. Encontre curvas
e
que satisfaçam as equaçōes.
(b)
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá um campo vetorial
que é o gradiente de uma função
. Nosso objetivo aqui é encontrar uma curva
tal que a integral de linha de
ao longo dessa curva seja igual a 1. Vamos precisar entender conceitos de cálculo vetorial, como campos conservativos, gradiente e integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se
, então
é um campo conservativo. Isso significa que a integral de linha de
entre dois pontos depende apenas dos valores de
nesses pontos. A fórmula para a integral de linha em um campo conservativo é:
onde
e
são os pontos inicial e final da curva
.
Passo 3
Como queremos que essa integral seja igual a 1, podemos escrever:
Substituindo
, temos:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar pontos
e
que satisfaçam essa equação. Por exemplo, vamos escolher
. Então:
Sabemos que
quando
, onde
é um inteiro.
Passo 5
Portanto, precisamos que:
Podemos escolher
para simplificar, então:
Isso significa que qualquer ponto
que satisfaça essa relação com
será válido.
Passo 6
Agora, a curva
pode ser qualquer caminho que vá de
a
, desde que
. Por exemplo, podemos escolher uma reta que conecta
a
.
Resposta
Uma curva
que conecta o ponto
a um ponto
onde
. Por exemplo, a linha reta de
a
satisfaz
.
Exercícios relacionados
Considere a função vetorial
, dada por
© Podemos afirmar que esse campo vetorial é um campo conservativo?
Resolva:
Calcule
, onde
é o triângulo de vértices
e
percorrido no
sentido anti-horário.
sentido anti-horário.
Calcule
, onde
é a metade superior do círculo
.