Calcule
, onde
é o triângulo de vértices
e
percorrido no
sentido anti-horário.
sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha:
, onde
é o triângulo com vértices em
,
e
, percorrido no sentido anti-horário. Vamos usar o Teorema de Green, que conecta integrais de linha com integrais duplas, facilitando nossos cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
na integral. Aqui, temos:
O Teorema de Green diz que:
Então, precisamos calcular as derivadas parciais
e
.
Passo 3
Calculando as derivadas:
Substituindo na expressão do Teorema de Green:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral dupla sobre a região
, que é o triângulo com vértices em
,
e
. Podemos descrever
com os limites:
Então, a integral dupla fica:
Integrando primeiro em
:
Resposta
O valor da integral é
.