Calcule integralC(e^x-y) d x+(x+y cdot sen y) d y, onde C é o triângulo de vértices (0,0),(2,0) e (0,2) percorrido no
sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha: integralC(e^x-y) dx + (x + y cdot sen y) dy, onde C é o triângulo com vértices em (0,0), (2,0) e (0,2), percorrido no sentido anti-horário. Vamos usar o Teorema de Green, que conecta integrais de linha com integrais duplas, facilitando nossos cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções P e Q na integral. Aqui, temos:
P(x, y) = e^x - y Q(x, y) = x + y cdot sen y
O Teorema de Green diz que:
ointC P dx + Q dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
Então, precisamos calcular as derivadas parciais partial Qpartial x e partial Ppartial y.

Passo 3

Calculando as derivadas:
partial Qpartial x = partialpartial x (x + y cdot sen y) = 1 partial Ppartial y = partialpartial y (e^x - y) = -1
Substituindo na expressão do Teorema de Green:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 1 - (-1) = 2

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral dupla sobre a região D, que é o triângulo com vértices em (0,0), (2,0) e (0,2). Podemos descrever D com os limites:
x vai de 0 a 2 y vai de 0 a 2 - x
Então, a integral dupla fica:
integral duplaD 2 , dA = 2 integral0^2 integral0^2 - x dy , dx
Integrando primeiro em y:
2 integral0^2 (2 - x) , dx = 2 [ 2x - x^22 ]0^2 = 2 [ 4 - 2 ] = 4

Resposta

O valor da integral é 4.

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