Considere a função
dada implicitamente pela equação
onde
é constante.
a) Construir o gráfico da função
;
b) Determinar o comprimento total do gráfico da função
.
a) Construir o gráfico da função
b) Determinar o comprimento total do gráfico da função
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função
definida pela equação
, onde
é uma constante. A matéria que estamos usando aqui é Geometria Analítica, e vamos precisar de conhecimentos sobre gráficos de funções implícitas e cálculo de comprimento de curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o gráfico da função
. A equação
é uma forma da equação de um círculo, mas com expoentes fracionários que modificam seu formato. Para desenhar o gráfico, vamos encontrar alguns pontos:
- Quando
, , então . - Quando
, , então .
Plotando esses pontos e lembrando que a função é simétrica em relação aos eixos, conseguimos formar uma curva no formato de um círculo com “picos” nos pontos calculados.
Passo 3
Agora, vamos para a parte b: determinar o comprimento total do gráfico da função. Para isso, vamos usar a fórmula do comprimento de uma curva parametrizada. Primeiro, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
.
Diferenciando ambos os lados da equação
em relação a
:
Resolvendo para
:
Passo 4
O comprimento da curva
de
a
é dado por:
Substituindo
:
Passo 5
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição trigonométrica ou utilizar técnicas avançadas de cálculo, já que a integral não é trivial. Após resolver a integral, obtemos o comprimento total da curva em termos da constante
.
Resposta
O gráfico da função
é uma curva simétrica com formato circular modificado pelos expoentes fracionários. O comprimento total do gráfico dessa função é proporcional a
e pode ser calculado através da integral definida que consideramos. O resultado final do comprimento é:
Exercícios relacionados
Calcule a área de superfície do gráfico de
sobre a região
.
Determine a ordem de cada equação diferencial e diga se ela é ou não linear:
Determine para quais valores de
a função
é solução da equação:
e