Considere a função dada implicitamente pela equação
onde é constante.
a) Construir o gráfico da função ;
b) Determinar o comprimento total do gráfico da função .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida pela equação , onde é uma constante. A matéria que estamos usando aqui é Geometria Analítica, e vamos precisar de conhecimentos sobre gráficos de funções implícitas e cálculo de comprimento de curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o gráfico da função . A equação é uma forma da equação de um círculo, mas com expoentes fracionários que modificam seu formato. Para desenhar o gráfico, vamos encontrar alguns pontos:
  • Quando , , então .
  • Quando , , então .
Plotando esses pontos e lembrando que a função é simétrica em relação aos eixos, conseguimos formar uma curva no formato de um círculo com “picos” nos pontos calculados.

Passo 3

Agora, vamos para a parte b: determinar o comprimento total do gráfico da função. Para isso, vamos usar a fórmula do comprimento de uma curva parametrizada. Primeiro, precisamos encontrar a derivada de em relação a .
Diferenciando ambos os lados da equação em relação a :
Resolvendo para :

Passo 4

O comprimento da curva de a é dado por:
Substituindo :

Passo 5

Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição trigonométrica ou utilizar técnicas avançadas de cálculo, já que a integral não é trivial. Após resolver a integral, obtemos o comprimento total da curva em termos da constante .

Resposta

O gráfico da função é uma curva simétrica com formato circular modificado pelos expoentes fracionários. O comprimento total do gráfico dessa função é proporcional a e pode ser calculado através da integral definida que consideramos. O resultado final do comprimento é:

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Calcule a área de superfície do gráfico de sobre a região .
Determine a ordem de cada equação diferencial e diga se ela é ou não linear:
Determine para quais valores de a função é solução da equação: e