Determine a ordem de cada equação diferencial e diga se ela é ou não linear: d^4y/dt^4 + d^2y/dt^2 + dy/dt = 1

Passo 1

Vamos ver o que a questão está pedindo! Temos uma equação diferencial, que é uma equação envolvendo derivadas de uma função . Aqui, precisamos descobrir duas coisas: a ordem da equação diferencial e dizer se ela é linear ou não. Para isso, vamos precisar entender o que significa “ordem” e “linearidade” em equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a ordem de uma equação diferencial. A ordem é simplesmente o maior grau da derivada presente na equação. Olhando para a equação:
Podemos ver que a derivada de quarta ordem ( ) é a que tem o maior grau, então a equação é de quarta ordem.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre linearidade. Uma equação diferencial é linear se pode ser escrita como uma soma de termos que envolvem a função e suas derivadas, cada um multiplicado por uma função que depende apenas da variável independente (neste caso, ), sem termos onde ou suas derivadas são multiplicados entre si ou elevadas a alguma potência.
Nossa equação é:
Cada termo envolve apenas uma derivada de multiplicada por constantes (que podem ser consideradas funções de constantes), e o lado direito é uma constante. Não há produtos ou potências de ou suas derivadas, então a equação é linear.

Resposta

A equação diferencial é de quarta ordem e linear.

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