Determine para quais valores de r a função y(t) é solução da equação: y(t) = r / (t^2 - 3) e y' + t y^2 = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de equações diferenciais. A gente precisa descobrir para quais valores de a função satisfaz a equação diferencial . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e substituição em equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de em relação a . A função dada é . Usando a regra da derivada de uma fração, temos:

Passo 3

Agora que temos e , vamos substituir na equação diferencial dada:
Substituindo:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão. Primeiro, calculemos :
Substituindo de volta:
Como os denominadores são iguais, podemos juntar os termos:

Passo 5

Para a fração ser igual a zero, o numerador precisa ser zero:
Fatorando :

Passo 6

Essa equação será verdadeira se qualquer um dos fatores for zero. Como e são variáveis e constantes respectivamente, para que a igualdade se mantenha para todo , precisamos que:

Resposta

O valor de que faz ser solução da equação diferencial é .

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