Determine para quais valores de
a função
é solução da equação:
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de equações diferenciais. A gente precisa descobrir para quais valores de
a função
satisfaz a equação diferencial
. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e substituição em equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada de
em relação a
. A função dada é
. Usando a regra da derivada de uma fração, temos:
Passo 3
Agora que temos
e
, vamos substituir na equação diferencial dada:
Substituindo:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão. Primeiro, calculemos
:
Substituindo de volta:
Como os denominadores são iguais, podemos juntar os termos:
Passo 5
Para a fração ser igual a zero, o numerador precisa ser zero:
Fatorando
:
Passo 6
Essa equação será verdadeira se qualquer um dos fatores for zero. Como
e
são variáveis e constantes respectivamente, para que a igualdade se mantenha para todo
, precisamos que:
Resposta
O valor de
que faz
ser solução da equação diferencial
é
.
Exercícios relacionados
Determine a ordem de cada equação diferencial e diga se ela é ou não linear:
Considere a função
dada implicitamente pela equação
onde
é constante.
a) Construir o gráfico da função ;
b) Determinar o comprimento total do gráfico da função
.
a) Construir o gráfico da função
b) Determinar o comprimento total do gráfico da função
Determine para quais valores de
a função
é solução da equação:
e
Mostre que
e
são ambas soluções de
As funções,
e
, com
e
constantes arbitrárias, são também soluções? A soma
é uma solução?