Determine para quais valores de
a função
é solução da equação:
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de equações diferenciais. A gente precisa descobrir para quais valores de
a função
satisfaz a equação diferencial
. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e substituição em equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada de
em relação a
. A função dada é
. Usando a regra da derivada de uma fração, temos:
Passo 3
Agora que temos
e
, vamos substituir na equação diferencial dada:
Substituindo:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão. Primeiro, calculemos
:
Substituindo de volta:
Como os denominadores são iguais, podemos juntar os termos:
Passo 5
Para a fração ser igual a zero, o numerador precisa ser zero:
Fatorando
:
Passo 6
Essa equação será verdadeira se qualquer um dos fatores for zero. Como
e
são variáveis e constantes respectivamente, para que a igualdade se mantenha para todo
, precisamos que:
Resposta
O valor de
que faz
ser solução da equação diferencial
é
.