Considere a função
, definida para todo
do plano e os pontos
e
. Lembre-se que para a função exponencial vale:
se, e somente se,
, para todo
reais. Ao responder as seguintes questões. Justifique sempre a sua resposta.
a) Existe curva de nível k da função f , quando
?
a) Existe curva de nível k da função f , quando
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A questão fala sobre a função
, que está definida para todos os pontos
no plano. A pergunta é se existe uma curva de nível
para essa função quando
. Para resolver isso, a gente precisa entender o que são curvas de nível e como a função exponencial se comporta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma curva de nível. Uma curva de nível de uma função de duas variáveis, como
, é o conjunto de pontos
onde a função assume um valor constante
. Matematicamente, isso é representado por:
No nosso caso, temos:
Passo 3
Agora, precisamos analisar a função exponencial
. Sabemos que a função exponencial sempre resulta em valores positivos, ou seja:
Isso significa que
nunca será igual a zero ou negativo, independente dos valores de
e
.
Passo 4
Vamos aplicar essa propriedade à nossa equação:
Se
, isso implicaria:
Mas, como vimos,
é sempre positivo. Portanto, essa equação não tem solução quando
.
Resposta
Não existe curva de nível
da função
quando
.