Considere a função z = f(x, y) = e^(2x + y), definida para todo (x, y) do plano e os pontos P1(-1,2), P2(1,-1) e P3(2, -4). Lembre-se que para a função exponencial vale: e^a = e^b se, e somente se, a = b, para todo a, b reais. Ao responder as seguintes questões. Justifique sempre a sua resposta.
a) Existe curva de nível k da função f , quando k <= 0 ?

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A questão fala sobre a função , que está definida para todos os pontos no plano. A pergunta é se existe uma curva de nível para essa função quando . Para resolver isso, a gente precisa entender o que são curvas de nível e como a função exponencial se comporta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma curva de nível. Uma curva de nível de uma função de duas variáveis, como , é o conjunto de pontos onde a função assume um valor constante . Matematicamente, isso é representado por:
No nosso caso, temos:

Passo 3

Agora, precisamos analisar a função exponencial . Sabemos que a função exponencial sempre resulta em valores positivos, ou seja:
Isso significa que nunca será igual a zero ou negativo, independente dos valores de e .

Passo 4

Vamos aplicar essa propriedade à nossa equação:
Se , isso implicaria:
Mas, como vimos, é sempre positivo. Portanto, essa equação não tem solução quando .

Resposta

Não existe curva de nível da função quando .

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