Verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva:
e) (y^3 - y^2 * x - x) dx + (3 * x * y^2 + 2 * y * cos(x)) dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial do tipo:
O que precisamos fazer é primeiro verificar se essa equação é exata. Se for, a gente consegue encontrar uma função que satisfaz essa equação. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre equações diferenciais exatas e como identificar se uma dada equação é exata.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma equação diferencial da forma é exata se ela satisfaz a condição:
Aqui, e . Vamos calcular essas derivadas parciais.

Passo 3

Calculando :
Agora, calculando :

Passo 4

Agora, vamos comparar as duas derivadas:
Para a equação ser exata, essas duas expressões devem ser iguais para todos os e . Observamos que:
pois não é igual a a menos que para todos os , o que não é verdade.

Passo 5

Como as derivadas parciais não são iguais, concluímos que a equação dada não é exata. Portanto, não podemos resolver diretamente encontrando uma função . Nesse caso, precisaríamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata ou usar outro método de resolução, mas isso está além do escopo atual do exercício.

Resposta

A equação diferencial dada não é exata.

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