Verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva:
e)
e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial do tipo:
O que precisamos fazer é primeiro verificar se essa equação é exata. Se for, a gente consegue encontrar uma função
que satisfaz essa equação. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre equações diferenciais exatas e como identificar se uma dada equação é exata.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma equação diferencial da forma
é exata se ela satisfaz a condição:
Aqui,
e
. Vamos calcular essas derivadas parciais.
Passo 3
Calculando
:
Agora, calculando
:
Passo 4
Agora, vamos comparar as duas derivadas:
Para a equação ser exata, essas duas expressões devem ser iguais para todos os
e
. Observamos que:
pois
não é igual a
a menos que
para todos os
, o que não é verdade.
Passo 5
Como as derivadas parciais não são iguais, concluímos que a equação dada não é exata. Portanto, não podemos resolver diretamente encontrando uma função
. Nesse caso, precisaríamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata ou usar outro método de resolução, mas isso está além do escopo atual do exercício.
Resposta
A equação diferencial dada não é exata.