A scérie alternada
converge absolutamente, condicionalmente ou não converge?
Passo 1
Beleza, vamos analisar esse exercício juntos! A questão nos apresenta uma série alternada:
O objetivo é determinar se essa série converge absolutamente, condicionalmente ou não converge. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de convergência absoluta e convergência condicional, além de aplicar o Teste da Raiz para séries.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a convergência absoluta da série. Isso significa que vamos analisar a série sem considerar os sinais alternados, ou seja:
Para testar a convergência dessa série, vamos usar o Teste da Raiz, que é eficaz para séries com termos elevados a potências de
.
Passo 3
Aplicando o Teste da Raiz, calculamos o limite da raiz n-ésima do termo geral:
Simplificando a expressão:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite:
Como o limite
, pelo Teste da Raiz, a série diverge.
Passo 5
Como a série dos valores absolutos diverge, ela não converge absolutamente. Agora, vamos verificar a convergência condicional da série original.
Passo 6
Para que uma série alternada convirja condicionalmente, é necessário que:
- Os termos
sejam decrescentes. - O limite dos termos seja zero conforme
tende ao infinito.
Já vimos que o limite dos termos é:
Como o limite não é zero, a série não satisfaz as condições para convergência condicional.
Resposta
A série não converge, ou seja, não converge absolutamente nem condicionalmente.