A scérie alternada
sumn=1^infty(-1)^n (2 n)^3 n(5 n^3+3)^n
converge absolutamente, condicionalmente ou não converge?

Passo 1

Beleza, vamos analisar esse exercício juntos! A questão nos apresenta uma série alternada:
sumn=1^infty(-1)^n (2n)^3n(5n^3+3)^n
O objetivo é determinar se essa série converge absolutamente, condicionalmente ou não converge. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de convergência absoluta e convergência condicional, além de aplicar o Teste da Raiz para séries.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a convergência absoluta da série. Isso significa que vamos analisar a série sem considerar os sinais alternados, ou seja:
sumn=1^infty (2n)^3n(5n^3+3)^n
Para testar a convergência dessa série, vamos usar o Teste da Raiz, que é eficaz para séries com termos elevados a potências de .

Passo 3

Aplicando o Teste da Raiz, calculamos o limite da raiz n-ésima do termo geral:
limn to infty ( (2n)^3n(5n^3+3)^n )^1n = limn to infty (2n)^35n^3 + 3
Simplificando a expressão:
(2n)^35n^3 + 3 = 8n^35n^3 + 3

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite:
limn to infty 8n^35n^3 + 3 = limn to infty 85 + 3n^3 = 85 = 1.6
Como o limite , pelo Teste da Raiz, a série diverge.

Passo 5

Como a série dos valores absolutos diverge, ela não converge absolutamente. Agora, vamos verificar a convergência condicional da série original.

Passo 6

Para que uma série alternada convirja condicionalmente, é necessário que:
  1. Os termos limn to infty (2n)^3n(5n^3+3)^n = infty sejam decrescentes.
  2. O limite dos termos seja zero conforme tende ao infinito.
Já vimos que o limite dos termos é:
Como o limite não é zero, a série não satisfaz as condições para convergência condicional.

Resposta

A série não converge, ou seja, não converge absolutamente nem condicionalmente.

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