Verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva:
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a equação diferencial
é exata. Isso envolve conhecimentos de equações diferenciais exatas. Se for exata, a gente resolve encontrando uma função potencial que satisfaça a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da equação. A equação pode ser escrita na forma
, onde:
Passo 3
Agora, para verificar se a equação é exata, precisamos comparar as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
:
Passo 4
Como
(ambas iguais a
), a equação é exata! Isso significa que existe uma função potencial
tal que:
Passo 5
Vamos encontrar essa função
. Primeiro, integramos
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende só de
.
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso nos dá:
Substituindo de volta na função potencial:
Resposta
A solução geral da equação é:
Onde
é uma constante qualquer.