Verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva:
a) (2 x - y) dx - (x + 6) dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a equação diferencial é exata. Isso envolve conhecimentos de equações diferenciais exatas. Se for exata, a gente resolve encontrando uma função potencial que satisfaça a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da equação. A equação pode ser escrita na forma , onde:

Passo 3

Agora, para verificar se a equação é exata, precisamos comparar as derivadas parciais de em relação a e de em relação a :

Passo 4

Como (ambas iguais a ), a equação é exata! Isso significa que existe uma função potencial tal que:

Passo 5

Vamos encontrar essa função . Primeiro, integramos em relação a :
Aqui, é uma função que depende só de .
Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Isso nos dá:
Substituindo de volta na função potencial:

Resposta

A solução geral da equação é:
Onde é uma constante qualquer.

Exercícios relacionados