Considere as funções abaixo e determine, para cada uma delas, quando existir: a. Pontos críticos; b. Pontos de máximos/mínimos, c. Analise a concavidade, d. Esboce o gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para analisar a função
. A gente vai trabalhar com cálculo, especificamente usando derivadas para encontrar pontos críticos, máximos/mínimos e analisar a concavidade. Além disso, vamos esboçar o gráfico dessa função. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas primeira e segunda da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos acontecem onde a derivada primeira é igual a zero ou não existe. Vamos calcular a derivada primeira de
:
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Então, os pontos críticos estão em
e
.
Passo 3
Agora, vamos determinar se esses pontos críticos são máximos ou mínimos. Para isso, usamos a segunda derivada para aplicar o teste da concavidade.
Primeiro, calculamos a segunda derivada de
:
Avaliamo a segunda derivada nos pontos críticos:
- Para
:
- Para
:
Portanto,
é um ponto de mínimo e
é um ponto de máximo.
Passo 4
Vamos analisar a concavidade da função. A concavidade está relacionada ao sinal da segunda derivada:
- Se
, a função é côncava para cima. - Se
, a função é côncava para baixo.
Usando
:
- Para
, → côncava para cima. - Para
, → côncava para baixo. - Em
, → possível ponto de inflexão.
Então, a função muda a concavidade em
.
Passo 5
Por fim, vamos esboçar o gráfico da função
:
- Sabemos que há um máximo em
e um mínimo em . - A função tem um ponto de inflexão em
. - Para desenhar o gráfico, consideramos o comportamento da função nos intervalos determinados pelos pontos críticos e de inflexão.
Resposta
Os pontos críticos da função
são
e
. Em
ocorre um máximo local, e em
ocorre um mínimo local. A concavidade da função é para baixo quando
e para cima quando
, com um ponto de inflexão em
. O gráfico da função apresenta esses pontos de máximo e mínimo, além da mudança na concavidade.
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