Verdadeiro ou contra-exemplo: Toda sequência monótona e limitada é convergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão é: “Verdadeiro ou contra-exemplo: Toda sequência monótona e limitada é convergente.” Isso está ligado ao estudo de sequências na matemática, mais especificamente nas séries numéricas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são sequências monótonas, o que significa uma sequência ser limitada e o conceito de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma sequência monótona. Uma sequência é chamada de monótona se ela for sempre crescente ou sempre decrescente. Por exemplo, a sequência é crescente porque cada termo é maior que o anterior.

Passo 3

Agora, vamos ver o que significa uma sequência ser limitada. Uma sequência é limitada se existe um número que serve de limite superior e outro que serve de limite inferior para os termos da sequência. Por exemplo, a sequência é limitada porque todos os seus termos estão entre 0 e 1.

Passo 4

O próximo passo é entender o que significa uma sequência ser convergente. Uma sequência converge se ela se aproxima de um número específico conforme os termos aumentam. Por exemplo, converge para 0.

Passo 5

Agora, vamos juntar tudo. Segundo o Teorema da Convergência Monótona, toda sequência que é monótona (sempre crescente ou sempre decrescente) e que é limitada, de fato, converge. Isso significa que se a sequência está sempre aumentando ou sempre diminuindo e não vai para o infinito, ela vai chegar a um número específico.

Passo 6

Então, aplicando esse teorema à nossa questão: “Toda sequência monótona e limitada é convergente.” Como vimos pelo Teorema da Convergência Monótona, isso é verdade. Não precisamos de um contra-exemplo porque a afirmação está correta.

Resposta

A afirmação é verdadeira: toda sequência monótona e limitada é convergente.

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