O que é um ponto de inflexão? A função
possui ponto de inflexão? Se sim, determine.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta sobre pontos de inflexão e se a função
tem algum. Pontos de inflexão são onde a curva muda sua concavidade, de côncava para convexa ou vice-versa. Para descobrir isso, vamos usar cálculo, especificamente derivadas. Vamos precisar encontrar a segunda derivada da função e ver onde ela muda de sinal.
Passo 2
Primeiro, precisamos achar a primeira derivada da função. A derivada nos dá a taxa de variação da função. A derivada de
é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada, que nos ajuda a entender a concavidade da função. A segunda derivada é a derivada da primeira derivada:
Passo 4
Para encontrar os pontos de inflexão, precisamos descobrir onde a segunda derivada é zero ou não existe, e verificar se há mudança na concavidade nesses pontos. Vamos resolver:
Passo 5
Achamos que
pode ser um ponto de inflexão. Para confirmar, vamos verificar se a concavidade muda de lado nesse ponto. Podemos fazer isso testando valores próximos a
:
-
Para
, digamos : -
Para
, digamos :
Como a concavidade muda de cima para baixo passando por
, confirmamos que é um ponto de inflexão.
Resposta
Sim, a função
possui um ponto de inflexão em
. O ponto de inflexão é
.
Calculando
:
Então, o ponto de inflexão é
.
Exercícios relacionados
Verdadeiro ou contra-exemplo:
convergem, então
converge.
Considere as funções abaixo e determine, para cada uma delas, quando existir: a. Pontos críticos; b. Pontos de máximos/mínimos, c. Analise a concavidade, d. Esboce o gráfico.
Verdadeiro ou contra-exemplo: Toda sequência monótona e limitada é convergente.
Considere as funções abaixo e determine, para cada uma delas, quando existir: a. Pontos críticos; b. Pontos de máximos/mínimos, c. Analise a concavidade, d. Esboce o gráfico.