O que é um ponto de inflexão? A função possui ponto de inflexão? Se sim, determine.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta sobre pontos de inflexão e se a função tem algum. Pontos de inflexão são onde a curva muda sua concavidade, de côncava para convexa ou vice-versa. Para descobrir isso, vamos usar cálculo, especificamente derivadas. Vamos precisar encontrar a segunda derivada da função e ver onde ela muda de sinal.

Passo 2

Primeiro, precisamos achar a primeira derivada da função. A derivada nos dá a taxa de variação da função. A derivada de é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada, que nos ajuda a entender a concavidade da função. A segunda derivada é a derivada da primeira derivada:

Passo 4

Para encontrar os pontos de inflexão, precisamos descobrir onde a segunda derivada é zero ou não existe, e verificar se há mudança na concavidade nesses pontos. Vamos resolver:

Passo 5

Achamos que pode ser um ponto de inflexão. Para confirmar, vamos verificar se a concavidade muda de lado nesse ponto. Podemos fazer isso testando valores próximos a :
  • Para , digamos :
  • Para , digamos :
Como a concavidade muda de cima para baixo passando por , confirmamos que é um ponto de inflexão.

Resposta

Sim, a função possui um ponto de inflexão em . O ponto de inflexão é .
Calculando :
Então, o ponto de inflexão é .

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Verdadeiro ou contra-exemplo: convergem, então converge.
Considere as funções abaixo e determine, para cada uma delas, quando existir: a. Pontos críticos; b. Pontos de máximos/mínimos, c. Analise a concavidade, d. Esboce o gráfico.
Verdadeiro ou contra-exemplo: Toda sequência monótona e limitada é convergente.
Considere as funções abaixo e determine, para cada uma delas, quando existir: a. Pontos críticos; b. Pontos de máximos/mínimos, c. Analise a concavidade, d. Esboce o gráfico.