O que é um ponto crítico de uma função? Defina e exemplifique!
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você perguntou o que é um ponto crítico de uma função. Então, basicamente, um ponto crítico é um valor no qual a função pode ter um pico, vale ou um ponto de inflexão. Para entender isso, vamos precisar saber sobre derivadas, que servem para medir a taxa de variação de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é derivada. A derivada de uma função em um ponto nos dá a inclinação da reta tangente a essa função naquele ponto. Se a derivada for igual a zero, significa que a reta tangente é horizontal naquele ponto.
Passo 3
Então, para encontrar pontos críticos, precisamos encontrar onde a derivada da função é igual a zero ou onde a derivada não existe. Esses pontos são candidatos a serem máximos, mínimos ou pontos de inflexão.
Passo 4
Vamos dar um exemplo prático. Imagine a função
. Vamos encontrar sua derivada:
Agora, igualamos a derivada a zero:
Então, x = 0 é um ponto crítico da função
.
Passo 5
Para entender o que acontece nesse ponto crítico, podemos analisar o comportamento da função perto de x = 0. Vemos que a fun��ão tem um mínimo em x = 0, porque a parábola abre para cima.
Resposta
Um ponto crítico de uma função é um valor de
onde a derivada da função é zero ou não existe, indicando possíveis máximos, mínimos ou pontos de inflexão. Por exemplo, na função
, o ponto crítico é x = 0, que corresponde a um mínimo.
Exercícios relacionados
Considere as funções abaixo e determine, para cada uma delas, quando existir: a. Pontos críticos; b. Pontos de máximos/mínimos, c. Analise a concavidade, d. Esboce o gráfico.
Verdadeiro ou contra-exemplo: Toda sequência monótona e limitada é convergente.
O que nos diz o teste da primeira derivada? e qual a importância da sua utilização?
Enuncie os testes e prove que as seguintes séries convergem:
(Teste da comparação direta)