Considere as funções
contínuas.
b) Calcule
caso
e
.
b) Calcule
Passo 1
Ok, vamos lá! O enunciado pede para calcular a convolução das funções
e . Estamos trabalhando com funções contínuas e vamos usar o conceito de convolução para resolver isso. Precisamos aplicar a fórmula da convolução para encontrar
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é definida a convolução de duas funções
e
. A convolução
é dada por:
No nosso caso, substituímos
e :
Passo 3
Para resolver essa integral, vamos fazer uma mudança de variável para simplificar. Vamos deixar
, então quando
,
e quando
,
. Além disso,
.
Substituindo na integral:
Passo 4
Agora, vamos distribuir a expressão dentro da integral:
Sabemos que:
E para , usamos a técnica de integração por partes, onde:
Passo 5
Aplicando essas integrais, temos:
Simplificando, lembrando que
e :
Distribuindo o
:
Passo 6
Agora, observamos que os termos
e
se cancelam:
Resposta
Então, a convolução das funções
e é:
Exercícios relacionados
Considere as funções
contínuas.
a) Defina a convolução entre as funções e
.
a) Defina a convolução entre as funções
Usando a fórmula de transformada de Laplace da derivada de uma função, determine e justifique uma expressão para
. Use para determinar
Por meio de trasformada de Laplace, encontre as funções
soluções do sistema
Determine a derivada da função vetorial.