Considere as funções f, g: [0, ∞) → R contínuas.
b) Calcule f * g caso f(t) = t e g(t) = sen(t).

Passo 1

Ok, vamos lá! O enunciado pede para calcular a convolução das funções e . Estamos trabalhando com funções contínuas e vamos usar o conceito de convolução para resolver isso. Precisamos aplicar a fórmula da convolução para encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é definida a convolução de duas funções e . A convolução é dada por:
No nosso caso, substituímos e :

Passo 3

Para resolver essa integral, vamos fazer uma mudança de variável para simplificar. Vamos deixar , então quando , e quando , . Além disso, .
Substituindo na integral:

Passo 4

Agora, vamos distribuir a expressão dentro da integral:
Sabemos que:
E para , usamos a técnica de integração por partes, onde:

Passo 5

Aplicando essas integrais, temos:
Simplificando, lembrando que e :
Distribuindo o :

Passo 6

Agora, observamos que os termos e se cancelam:

Resposta

Então, a convolução das funções e é:

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