Determine a derivada da função vetorial. r(t) = < t sen(t), t^2, t cos(2t) >

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a derivada de uma função vetorial. A função que temos é . Isso faz parte do conteúdo de cálculo vetorial, especificamente da derivação de funções vetoriais. Para resolver isso, a gente vai precisar saber como derivar cada componente dessa função vetorial individualmente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função vetorial é simplesmente a derivada de cada uma das suas componentes. Ou seja, se , então . Então, nosso objetivo é encontrar as derivadas de , e t^2.

Passo 3

Vamos começar com a primeira componente: . Para derivar isso, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de é . Aqui, e . Então:

Passo 4

Agora, a segunda componente: . A derivada de t^2 em relação a t é bem direta. Usamos a regra do expoente:

Passo 5

Por último, vamos derivar a terceira componente: . Novamente, usamos a regra do produto, onde e . Então:

Resposta

Então, juntando tudo, a derivada da função vetorial r(t) é:

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