Usando a fórmula de transformada de Laplace da derivada de uma função, determine e justifique uma expressão para
. Use para determinar
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para usarmos a fórmula da transformada de Laplace da derivada de uma função para determinar e justificar uma expressão para
. Além disso, devemos usar isso para encontrar
. Basicamente, vamos mexer com derivadas e transformadas de Laplace, que são ferramentas importantes na análise de funções no domínio da frequência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da transformada de Laplace para a derivada de uma função. A fórmula geral para a
-ésima derivada de
é:
Para o nosso caso,
, então a fórmula fica:
Isso significa que para encontrar a transformada de Laplace da terceira derivada de
, precisamos conhecer a transformada de
e os valores iniciais da função e suas duas primeiras derivadas.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso para encontrar
. Primeiro, identificamos que
.
Calculando as derivadas:
Agora, aplicamos a fórmula da transformada de Laplace para a terceira derivada:
Sabemos que
,
e
. Então, a expressão simplifica para:
Mas
, então:
Portanto:
Passo 4
Agora, vamos resolver para
:
Dividindo ambos os lados por
:
Resposta
A transformada de Laplace de
é
.
Exercícios relacionados
Utilizando a definição, determine a transformada de Laplace da função
. Justifique sua resposta.
Um pulverizador agrícola distribui água em um padrão circular de 50 m de raio. Ele fornece água até uma profundidade de
metros por hora a uma distância de
metros do pulverizador.
(a) Se , qual a quantidade total de água fornecida por hora para a região dentro do círculo de raio
centrada no pulverizador?
(b) Determine uma expressão para a quantidade média de água por hora por metro quadrado fornecida à região dentro do círculo de raio .
(a) Se
(b) Determine uma expressão para a quantidade média de água por hora por metro quadrado fornecida à região dentro do círculo de raio
Considere as funções
contínuas.
a) Defina a convolução entre as funções e
.
a) Defina a convolução entre as funções
Considere as funções
contínuas.
b) Calcule caso
e
.
b) Calcule