Usando a fórmula de transformada de Laplace da derivada de uma função, determine e justifique uma expressão para L(f'''(t))(s). Use para determinar L(t^3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para usarmos a fórmula da transformada de Laplace da derivada de uma função para determinar e justificar uma expressão para . Além disso, devemos usar isso para encontrar . Basicamente, vamos mexer com derivadas e transformadas de Laplace, que são ferramentas importantes na análise de funções no domínio da frequência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da transformada de Laplace para a derivada de uma função. A fórmula geral para a -ésima derivada de é:
Para o nosso caso, , então a fórmula fica:
Isso significa que para encontrar a transformada de Laplace da terceira derivada de , precisamos conhecer a transformada de e os valores iniciais da função e suas duas primeiras derivadas.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso para encontrar . Primeiro, identificamos que .
Calculando as derivadas:
Agora, aplicamos a fórmula da transformada de Laplace para a terceira derivada:
Sabemos que , e . Então, a expressão simplifica para:
Mas , então:
Portanto:

Passo 4

Agora, vamos resolver para :
Dividindo ambos os lados por :

Resposta

A transformada de Laplace de é .

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