Usando a fórmula de transformada de Laplace da derivada de uma função, determine e justifique uma expressão para . Use para determinar

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para usarmos a fórmula da transformada de Laplace da derivada de uma função para determinar e justificar uma expressão para . Além disso, devemos usar isso para encontrar . Basicamente, vamos mexer com derivadas e transformadas de Laplace, que são ferramentas importantes na análise de funções no domínio da frequência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da transformada de Laplace para a derivada de uma função. A fórmula geral para a -ésima derivada de é:
Para o nosso caso, , então a fórmula fica:
Isso significa que para encontrar a transformada de Laplace da terceira derivada de , precisamos conhecer a transformada de e os valores iniciais da função e suas duas primeiras derivadas.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso para encontrar . Primeiro, identificamos que .
Calculando as derivadas:
Agora, aplicamos a fórmula da transformada de Laplace para a terceira derivada:
Sabemos que , e . Então, a expressão simplifica para:
Mas , então:
Portanto:

Passo 4

Agora, vamos resolver para :
Dividindo ambos os lados por :

Resposta

A transformada de Laplace de é .

Exercícios relacionados

Utilizando a definição, determine a transformada de Laplace da função . Justifique sua resposta.
Um pulverizador agrícola distribui água em um padrão circular de 50 m de raio. Ele fornece água até uma profundidade de metros por hora a uma distância de metros do pulverizador.
(a) Se , qual a quantidade total de água fornecida por hora para a região dentro do círculo de raio centrada no pulverizador?
(b) Determine uma expressão para a quantidade média de água por hora por metro quadrado fornecida à região dentro do círculo de raio .
Considere as funções contínuas.
a) Defina a convolução entre as funções e .
Considere as funções contínuas.
b) Calcule caso e .