Considere as funções contínuas.
a) Defina a convolução entre as funções e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente definir a convolução entre duas funções contínuas e definidas no intervalo . A matéria envolvida aqui é a conceituação de convolução em matemática, que é uma operação que combina duas funções para produzir uma terceira função. Vamos precisar entender o que é a convolução e como aplicá-la matematicamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é convolução. A convolução de duas funções e basicamente mede como uma função “afeta” a outra quando uma delas é invertida e deslocada. Essa operação é muito usada em diversas áreas como processamento de sinais, estatística e equações diferenciais.

Passo 3

Matematicamente, a convolução é definida como a integral do produto de e para todos os valores de . Isso significa que estamos “misturando” as duas funções ao longo do intervalo de integração.

Passo 4

Então, a fórmula geral para a convolução de e é:
Aqui, representa o ponto onde estamos calculando a convolução, e a integração vai de 0 até porque nossas funções estão definidas no intervalo .

Passo 5

Vamos resumir: a convolução combina duas funções contínuas e em uma terceira função que expressa como a forma de uma é “alterada” pela outra. A definição envolve uma integral que multiplica por uma versão invertida e deslocada de , somando tudo isso ao longo do intervalo considerado.

Resposta

A convolução das funções e é definida por:

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