Considere as funções
contínuas.
a) Defina a convolução entre as funções
e
.
a) Defina a convolução entre as funções
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente definir a convolução entre duas funções contínuas
e
definidas no intervalo
. A matéria envolvida aqui é a conceituação de convolução em matemática, que é uma operação que combina duas funções para produzir uma terceira função. Vamos precisar entender o que é a convolução e como aplicá-la matematicamente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é convolução. A convolução de duas funções
e
basicamente mede como uma função “afeta” a outra quando uma delas é invertida e deslocada. Essa operação é muito usada em diversas áreas como processamento de sinais, estatística e equações diferenciais.
Passo 3
Matematicamente, a convolução
é definida como a integral do produto de
e
para todos os valores de
. Isso significa que estamos “misturando” as duas funções ao longo do intervalo de integração.
Passo 4
Então, a fórmula geral para a convolução de
e
é:
Aqui,
representa o ponto onde estamos calculando a convolução, e a integração vai de 0 até
porque nossas funções estão definidas no intervalo
.
Passo 5
Vamos resumir: a convolução combina duas funções contínuas
e
em uma terceira função que expressa como a forma de uma é “alterada” pela outra. A definição envolve uma integral que multiplica
por uma versão invertida e deslocada de
, somando tudo isso ao longo do intervalo considerado.
Resposta
A convolução das funções
e
é definida por:
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contínuas.
b) Calcule caso
e
.
b) Calcule
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