Determine se o conjunto dado é ou não: (a) aberto, (b) conexo e © simplesmente conexo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar o conjunto para ver se ele é:
(a) aberto,
(b) conexo,
© simplesmente conexo.
Vamos usar conceitos de topologia, que é a parte da matemática que estuda as propriedades dos espaços que são preservadas mesmo quando eles são deformados sem cortar ou colar. Para resolver, vamos precisar entender o que são conjuntos abertos, conexos e simplesmente conexos.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o conjunto é aberto. Um conjunto é aberto se, para qualquer ponto dentro dele, existe uma “bolinha” ao redor desse ponto que também está completamente dentro do conjunto.
O nosso conjunto é definido por . Isso representa todos os pontos que estão entre os círculos de raio 1 e 2 centrados na origem. Como estamos excluindo os limites (quando ou ), para qualquer ponto dentro desse intervalo, podemos sempre desenhar uma pequena “bolinha” ao redor sem atingir os limites. Portanto, o conjunto é aberto.

Passo 3

Agora, vamos ver se o conjunto é conexo. Um conjunto é conexo se não pode ser dividido em duas partes separadas que não se tocam.
No nosso caso, o conjunto é uma “aliança” circular, sem buracos internos (exceto pelo espaço que estamos excluindo). Como conseguimos passar de qualquer ponto a outro dentro do conjunto sem sair dele, o conjunto é conexo.

Passo 4

Por último, vamos determinar se o conjunto é simplesmente conexo. Um conjunto é simplesmente conexo se é conexo e todo laço (ou caminho fechado) dentro dele pode ser continuamente contraído a um ponto sem sair do conjunto.
Como nosso conjunto é um anel (entre dois círculos), ele tem um “buraco” no meio (área onde não está incluída). Esse buraco faz com que exista pelo menos um laço que não pode ser contraído a um ponto sem atravessar esse espaço vazio. Portanto, o conjunto não é simplesmente conexo.

Resposta

(a) O conjunto é aberto;
(b) O conjunto é conexo;
© O conjunto não é simplesmente conexo.

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