Utilizando a definição, determine a transformada de Laplace da função . Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a transformada de Laplace da função usando a definição da transformada. A transformada de Laplace é uma ferramenta matemática que ajuda a resolver equações diferenciais transformando funções do tempo para o domínio da frequência. Para resolver isso, vamos usar a definição da transformada de Laplace e calcular a integral passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função é dada por:
Aqui, é uma variável complexa e representa o tempo.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função . Substituindo na fórmula, temos:

Passo 4

Podemos simplificar a expressão dentro da integral combinando os expoentes:
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos calcular essa integral. A integral de de 0 a , onde , é conhecida e é igual a . Nesse caso, , então:

Resposta

Portanto, a transformada de Laplace da função é:

Exercícios relacionados

Um pulverizador agrícola distribui água em um padrão circular de 50 m de raio. Ele fornece água até uma profundidade de metros por hora a uma distância de metros do pulverizador.
(a) Se , qual a quantidade total de água fornecida por hora para a região dentro do círculo de raio centrada no pulverizador?
(b) Determine uma expressão para a quantidade média de água por hora por metro quadrado fornecida à região dentro do círculo de raio .
Uma partícula se desloca sobre o eixo de acordo com uma função posição . Sendo a função velocidade da partícula e a função aceleração da partícula, determine nos casos abaixo:
e
Usando a fórmula de transformada de Laplace da derivada de uma função, determine e justifique uma expressão para . Use para determinar
Considere as funções contínuas.
a) Defina a convolução entre as funções e .