Utilizando a definição, determine a transformada de Laplace da função f(t) = e^(-t). Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a transformada de Laplace da função usando a definição da transformada. A transformada de Laplace é uma ferramenta matemática que ajuda a resolver equações diferenciais transformando funções do tempo para o domínio da frequência. Para resolver isso, vamos usar a definição da transformada de Laplace e calcular a integral passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função é dada por:
Aqui, é uma variável complexa e representa o tempo.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função . Substituindo na fórmula, temos:

Passo 4

Podemos simplificar a expressão dentro da integral combinando os expoentes:
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos calcular essa integral. A integral de de 0 a , onde , é conhecida e é igual a . Nesse caso, , então:

Resposta

Portanto, a transformada de Laplace da função é:

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