Utilizando a definição, determine a transformada de Laplace da função
. Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a transformada de Laplace da função
usando a definição da transformada. A transformada de Laplace é uma ferramenta matemática que ajuda a resolver equações diferenciais transformando funções do tempo para o domínio da frequência. Para resolver isso, vamos usar a definição da transformada de Laplace e calcular a integral passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função
é dada por:
Aqui,
é uma variável complexa e
representa o tempo.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função
. Substituindo na fórmula, temos:
Passo 4
Podemos simplificar a expressão dentro da integral combinando os expoentes:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos calcular essa integral. A integral de
de 0 a
, onde
, é conhecida e é igual a
. Nesse caso,
, então:
Resposta
Portanto, a transformada de Laplace da função
é: