Utilizando a definição, determine a transformada de Laplace da função
. Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a transformada de Laplace da função
usando a definição da transformada. A transformada de Laplace é uma ferramenta matemática que ajuda a resolver equações diferenciais transformando funções do tempo para o domínio da frequência. Para resolver isso, vamos usar a definição da transformada de Laplace e calcular a integral passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função
é dada por:
Aqui,
é uma variável complexa e
representa o tempo.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função
. Substituindo na fórmula, temos:
Passo 4
Podemos simplificar a expressão dentro da integral combinando os expoentes:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos calcular essa integral. A integral de
de 0 a
, onde
, é conhecida e é igual a
. Nesse caso,
, então:
Resposta
Portanto, a transformada de Laplace da função
é:
Exercícios relacionados
Um pulverizador agrícola distribui água em um padrão circular de 50 m de raio. Ele fornece água até uma profundidade de
metros por hora a uma distância de
metros do pulverizador.
(a) Se , qual a quantidade total de água fornecida por hora para a região dentro do círculo de raio
centrada no pulverizador?
(b) Determine uma expressão para a quantidade média de água por hora por metro quadrado fornecida à região dentro do círculo de raio .
(a) Se
(b) Determine uma expressão para a quantidade média de água por hora por metro quadrado fornecida à região dentro do círculo de raio
Uma partícula se desloca sobre o eixo
de acordo com uma função posição
. Sendo
a função velocidade da partícula e
a função aceleração da partícula, determine
nos casos abaixo:
e
Usando a fórmula de transformada de Laplace da derivada de uma função, determine e justifique uma expressão para
. Use para determinar
Considere as funções
contínuas.
a) Defina a convolução entre as funções e
.
a) Defina a convolução entre as funções