Considere as funções f, g e h definidas por f(x) = x^2 + x - 6, g(x) = e^x e h(x) = ln(x). Determine: o domínio da função composta hof ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinar o domínio da função composta , onde temos três funções definidas por:
Conteúdo da matéria: Vamos trabalhar com funções compostas e domínios. Precisaremos entender como compor funções e como determinar os valores de que tornam as funções válidas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma função composta. Quando temos , isso significa que estamos aplicando as funções uma dentro da outra. Especificamente, . Ou seja, primeiro aplicamos em , depois no resultado de e, por fim, no resultado de .

Passo 3

Vamos determinar o domínio da função composta . O domínio de uma função composta é o conjunto de todos os valores de que fazem com que cada etapa da composição seja válida.

Passo 4

Primeiro, encontramos o domínio de . Como essa é uma função polinomial, ela está definida para todos os números reais. Então:
í

Passo 5

Agora, aplicamos ao resultado de , ou seja, . A função exponencial está definida para todos os números reais também. Portanto, não impõe restrições adicionais:
í

Passo 6

Por fim, aplicamos ao resultado de , ou seja, . A função logaritmo natural está definida para . Então precisamos que:

Passo 7

Observamos que é sempre positivo para qualquer valor de , já que a exponencial nunca é zero ou negativa. Portanto, a condição é sempre verdadeira para todo real.

Passo 8

Como não há restrições adicionais após compor as funções, o domínio da função composta é o mesmo que o domínio de .

Resposta

O domínio da função composta é todos os números reais, ou seja:
í

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