Considere as funções
e
definidas por
e
. Determine: o domínio da função composta hof ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinar o domínio da função composta
, onde temos três funções definidas por:
Conteúdo da matéria: Vamos trabalhar com funções compostas e domínios. Precisaremos entender como compor funções e como determinar os valores de
que tornam as funções válidas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma função composta. Quando temos
, isso significa que estamos aplicando as funções uma dentro da outra. Especificamente,
. Ou seja, primeiro aplicamos
em
, depois
no resultado de
e, por fim,
no resultado de
.
Passo 3
Vamos determinar o domínio da função composta
. O domínio de uma função composta é o conjunto de todos os valores de
que fazem com que cada etapa da composição seja válida.
Passo 4
Primeiro, encontramos o domínio de
. Como essa é uma função polinomial, ela está definida para todos os números reais. Então:
Passo 5
Agora, aplicamos
ao resultado de
, ou seja,
. A função exponencial
está definida para todos os números reais também. Portanto, não impõe restrições adicionais:
Passo 6
Por fim, aplicamos
ao resultado de
, ou seja,
. A função logaritmo natural
está definida para
. Então precisamos que:
Passo 7
Observamos que
é sempre positivo para qualquer valor de
, já que a exponencial nunca é zero ou negativa. Portanto, a condição
é sempre verdadeira para todo
real.
Passo 8
Como não há restrições adicionais após compor as funções, o domínio da função composta
é o mesmo que o domínio de
.
Resposta
O domínio da função composta
é todos os números reais, ou seja: