Considere as funções dos ítens (I), (II) e (III) abaixo:
(I)
dada por
.
(II)
dada por
.
(III)
dada por
.
Marque qual das afirmativas abaixo é VERDADEIRA:
(A) Apenas a função do item (I) é uma transformação linear.
(B) Apenas a função do item (II) é uma transformação linear.
© Apenas a função do item (III) é uma transformação linear.
(D) Apenas as funções dos ítens (I) e (II) são transformações lineares.
(E) Apenas as funções dos ítens (I) e (III) são transformações lineares.
(F) Apenas as funções dos ítens (II) e (III) são transformações lineares.
(G) As funções dos ítens (I), (II) e (III) são transformações lineares.
(H) Nenhuma das funções apresentadas é transformação linear.
(I)
(II)
(III)
Marque qual das afirmativas abaixo é VERDADEIRA:
(A) Apenas a função do item (I) é uma transformação linear.
(B) Apenas a função do item (II) é uma transformação linear.
© Apenas a função do item (III) é uma transformação linear.
(D) Apenas as funções dos ítens (I) e (II) são transformações lineares.
(E) Apenas as funções dos ítens (I) e (III) são transformações lineares.
(F) Apenas as funções dos ítens (II) e (III) são transformações lineares.
(G) As funções dos ítens (I), (II) e (III) são transformações lineares.
(H) Nenhuma das funções apresentadas é transformação linear.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem três funções diferentes e precisa descobrir qual delas são transformações lineares. Transformação linear é tipo uma regra que segue duas regras principais: adição e multiplicação por escalar. Pra resolver isso, vamos analisar cada função uma por uma, verificando se elas obedecem a essas regras.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a função (I):
Para ser uma transformação linear, T deve satisfazer:
1. T(u + v) = T(u) + T(v)
2. T(k u) = k T(u)
Vamos verificar a primeira condição. Suponha que temos dois polinômios
e
. Então:
Enquanto:
Vemos que
porque
e
. Então, a função (I) não é uma transformação linear.
Passo 3
Agora, vamos para a função (II):
Vamos verificar as duas condições de linearidade.
Primeiro, veja que o termo
não depende linearmente das variáveis, especialmente porque
não é linear em
. Além disso, o termo constante
sugere que o mapeamento não mantém a proporcionalidade necessária para uma transformação linear. Portanto, a função (II) também não é uma transformação linear.
Passo 4
Finalmente, vamos analisar a função (III):
Vamos verificar as duas condições de linearidade.
Para a função ser linear, todas as componentes devem ser combinações lineares das variáveis. Olhando para a segunda componente
, vemos que
é uma função não linear, e o termo constante 1 também quebra a linearidade. Além disso, funções com termos como
não preservam a adição e a multiplicação por escalar corretamente. Então, a função (III) não é uma transformação linear.
Resposta
A resposta correta é (H) Nenhuma das funções apresentadas é transformação linear.