Considere as funções dos ítens (I), (II) e (III) abaixo:
(I) T: P2(R) P2(R) dada por T(a x^2+b x+c)=b x^2+a^2 x+1.
(II) S: R^3 P3(R) dada por S(a, b, c)=-c x^3+3(a+b).
(III) U: R^2 R^2 dada por U(x, y)=(-x+3 y, 1-cos x).
Marque qual das afirmativas abaixo é VERDADEIRA:
(A) Apenas a função do item (I) é uma transformação linear.
(B) Apenas a função do item (II) é uma transformação linear.
© Apenas a função do item (III) é uma transformação linear.
(D) Apenas as funções dos ítens (I) e (II) são transformações lineares.
(E) Apenas as funções dos ítens (I) e (III) são transformações lineares.
(F) Apenas as funções dos ítens (II) e (III) são transformações lineares.
(G) As funções dos ítens (I), (II) e (III) são transformações lineares.
(H) Nenhuma das funções apresentadas é transformação linear.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três funções diferentes e precisa descobrir qual delas são transformações lineares. Transformação linear é tipo uma regra que segue duas regras principais: adição e multiplicação por escalar. Pra resolver isso, vamos analisar cada função uma por uma, verificando se elas obedecem a essas regras.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a função (I):
T(a x^2 + b x + c) = b x^2 + a^2 x + 1
Para ser uma transformação linear, T deve satisfazer:
1. T(u + v) = T(u) + T(v)
2. T(k u) = k T(u)
Vamos verificar a primeira condição. Suponha que temos dois polinômios T(u + v) = T((a+d)x^2 + (b+e)x + (c+f)) = (b+e)x^2 + (a+d)^2 x + 1 e T(u) + T(v) = (b x^2 + a^2 x + 1) + (e x^2 + d^2 x + 1) = (b+e)x^2 + (a^2 + d^2)x + 2 . Então:

Enquanto:
Vemos que porque e . Então, a função (I) não é uma transformação linear.

Passo 3

Agora, vamos para a função (II):
S(a, b, c) = -c x^3 + 3(a + b)
Vamos verificar as duas condições de linearidade.
Primeiro, veja que o termo não depende linearmente das variáveis, especialmente porque não é linear em . Além disso, o termo constante sugere que o mapeamento não mantém a proporcionalidade necessária para uma transformação linear. Portanto, a função (II) também não é uma transformação linear.

Passo 4

Finalmente, vamos analisar a função (III):
U(x, y) = (-x + 3y, 1 - cos x)
Vamos verificar as duas condições de linearidade.
Para a função ser linear, todas as componentes devem ser combinações lineares das variáveis. Olhando para a segunda componente , vemos que é uma função não linear, e o termo constante 1 também quebra a linearidade. Além disso, funções com termos como não preservam a adição e a multiplicação por escalar corretamente. Então, a função (III) não é uma transformação linear.

Resposta

A resposta correta é (H) Nenhuma das funções apresentadas é transformação linear.

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