Dados os vetores v=(1,2,1) e w=(-1,0,1).
(b) Determine a área do paralelogramo formado pelos vetores v e w.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores no espaço tridimensional: v = (1, 2, 1) e w = (-1, 0, 1). A pergunta é: qual é a área do paralelogramo formado por esses dois vetores?
Para resolver isso, vamos usar o produto vetorial (também conhecido como produto cruzado) que nos ajuda a encontrar a área do paralelogramo formado por dois vetores no espaço. Precisamos então calcular o produto vetorial de v e w e depois encontrar a magnitude desse vetor resultante, que será a área desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o produto vetorial. O produto vetorial de dois vetores a = (a1, a2, a3) e b = (b1, b2, b3) é dado por:
a times b = ( a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1 )
Esse vetor resultante é perpendicular aos vetores a e b, e a magnitude dele representa a área do paralelogramo formado por a e b.

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto vetorial de v e w usando a fórmula acima. Substituindo os valores:
v times w = ( v2w3 - v3w2, v3w1 - v1w3, v1w2 - v2w1 )
Vamos calcular cada componente:
  1. Primeiro componente:
v2w3 - v3w2 = 2 times 1 - 1 times 0 = 2 - 0 = 2
  1. Segundo componente:
v3w1 - v1w3 = 1 times (-1) - 1 times 1 = -1 - 1 = -2
  1. Terceiro componente:
v1w2 - v2w1 = 1 times 0 - 2 times (-1) = 0 + 2 = 2
Então, o produto vetorial é:
v times w = (2, -2, 2)

Passo 4

Agora que temos o vetor resultante do produto vetorial, vamos encontrar sua magnitude para determinar a área do paralelogramo. A magnitude de um vetor u = (u1, u2, u3) é calculada por:
||u|| = raizu1^2 + u2^2 + u3^2
Aplicando isso ao nosso vetor (2, -2, 2):
||v times w|| = raiz2^2 + (-2)^2 + 2^2 = raiz4 + 4 + 4 = raiz12 = 2raiz3

Resposta

A área do paralelogramo formado pelos vetores v e w é 2raiz3 unidades de área.

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