Considere as funções p(x) = x^5 - 3 x^4 - 3 x^3 + 11 x^2 - 6 x e g: R -> R definida abaixo
g(x) = 1 se x > 0, 0 se x = 0, -1 se x < 0
Fatore o polinômio p(x) e faça um estudo de sinais. Analise a função composta g o p e responda: para quais valores de x temos g(p(x)) > 0, g(p(x)) < 0, e g(p(x))=0 ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função polinomial e uma função que depende do sinal de . Nosso objetivo é fatorar , fazer um estudo de sinais dessa função e depois analisar a função composta . Para isso, vamos precisar usar álgebra para fatoração de polinômios e entender como a função reage aos diferentes valores de .

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o polinômio . Para isso, observamos que cada termo tem pelo menos um , então podemos fatorar um de toda a expressão:
Agora, precisamos fatorar o polinômio de quarta grau dentro dos parênteses. Vamos procurar raízes racionais usando o teorema das raízes racionais. Testando :
Como é raiz, podemos dividir o polinômio por :
Agora, vamos fatorar o polinômio cúbico . Testando novamente:
Então, é outra raiz. Dividindo por :
Fatorando o quadrático :
Então, a fatoração completa de é:

Passo 3

Agora que fatoramos , vamos fazer um estudo de sinais. Para isso, identificamos os pontos críticos onde , que são as raízes , , e .
Vamos organizar esses valores em uma reta numérica e analisar os sinais de em cada intervalo:
  1. Intervalo :
    • Escolha :
  2. Intervalo :
    • Escolha :
  3. Intervalo :
    • Escolha :
  4. Intervalo :
    • Escolha :
  5. Intervalo :
    • Escolha :
Resumindo:

Passo 4

Agora vamos analisar a função composta , ou seja, . A função nos dá:
Usando o estudo de sinais de , podemos determinar :
  1. Quando :
    Isso ocorre nos intervalos e .
  2. Quando :
    Isso ocorre nos intervalos , e .
  3. Quando :
    Isso ocorre nos pontos , , e .

Resposta

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