Fatore o polinômio p(x) e faça um estudo de sinais. Analise a função composta g o p e responda: para quais valores de x temos g(p(x)) > 0, g(p(x)) < 0, e g(p(x))=0 ?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função polinomial e uma função que depende do sinal de . Nosso objetivo é fatorar , fazer um estudo de sinais dessa função e depois analisar a função composta . Para isso, vamos precisar usar álgebra para fatoração de polinômios e entender como a função reage aos diferentes valores de .
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o polinômio . Para isso, observamos que cada termo tem pelo menos um , então podemos fatorar um de toda a expressão:
Agora, precisamos fatorar o polinômio de quarta grau dentro dos parênteses. Vamos procurar raízes racionais usando o teorema das raízes racionais. Testando :
Como é raiz, podemos dividir o polinômio por :
Agora, vamos fatorar o polinômio cúbico . Testando novamente:
Então, é outra raiz. Dividindo por :
Fatorando o quadrático :
Então, a fatoração completa de é:
Passo 3
Agora que fatoramos , vamos fazer um estudo de sinais. Para isso, identificamos os pontos críticos onde , que são as raízes , , e .
Vamos organizar esses valores em uma reta numérica e analisar os sinais de em cada intervalo:
Intervalo :
Escolha :
Intervalo :
Escolha :
Intervalo :
Escolha :
Intervalo :
Escolha :
Intervalo :
Escolha :
Resumindo:
Passo 4
Agora vamos analisar a função composta , ou seja, . A função nos dá:
Usando o estudo de sinais de , podemos determinar :