Admita o seguinte teorema como sendo verdadeiro:
Então, podemos concluir que
é uma função afim, ou seja, existem
e
reais tais que
para todo
.Com base no enunciado acima, podemos concluir que a função
que satisfaz
é uma função afim?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui. A gente tem um teorema que diz que se a expressão
é constante, então a função
é uma função afim, ou seja, ela pode ser escrita como
, onde
e
são números reais.
A pergunta é: com base nisso, podemos dizer que a função
que satisfaz
é uma função afim?
Para responder, vamos precisar usar conceitos de funções afins e manipular a equação dada para ver se ela se encaixa no teorema que mencionamos.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação
. Podemos dividir ambos os lados por
(desde que
) para facilitar:
Passo 3
Agora, vamos reescrever essa equação de uma maneira que nos ajude a identificar a forma de
. Subtraímos
de ambos os lados:
Passo 4
Observamos que a diferença
depende apenas de
, e não de
. Isso sugere que a taxa de variação da função
em relação a
é constante.
Vamos relacionar isso com o teorema dado. A expressão
sendo constante implica que a variação de
por
é linear.
Passo 5
No nosso caso, a variação
é igual a
. Então, podemos escrever:
Isso mostra que a taxa de variação de
em relação a
é constante e igual a
.
Passo 6
De acordo com o teorema, se
é constante, então
é uma função afim. No nosso caso, conseguimos mostrar que
, uma constante.
Passo 7
Portanto, concluímos que a função
é afim. Ou seja, existe um número real
e um número real
tais que:
Resposta
Sim, a função
que satisfaz
é uma função afim, ou seja, pode ser expressa como
, onde
é um número real.