Admita o seguinte teorema como sendo verdadeiro:
f(x+h)-f(x)/h é constanteé
Então, podemos concluir que f é uma função afim, ou seja, existem a e b reais tais que f(x) = a*x + b para todo x em R.Com base no enunciado acima, podemos concluir que a função f: R -> R que satisfaz x f(x+y) = x f(x) - 2 x y é uma função afim?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui. A gente tem um teorema que diz que se a expressão é constante, então a função é uma função afim, ou seja, ela pode ser escrita como , onde e são números reais.
A pergunta é: com base nisso, podemos dizer que a função que satisfaz é uma função afim?
Para responder, vamos precisar usar conceitos de funções afins e manipular a equação dada para ver se ela se encaixa no teorema que mencionamos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação . Podemos dividir ambos os lados por (desde que ) para facilitar:

Passo 3

Agora, vamos reescrever essa equação de uma maneira que nos ajude a identificar a forma de . Subtraímos de ambos os lados:

Passo 4

Observamos que a diferença depende apenas de , e não de . Isso sugere que a taxa de variação da função em relação a é constante.
Vamos relacionar isso com o teorema dado. A expressão sendo constante implica que a variação de por é linear.

Passo 5

No nosso caso, a variação é igual a . Então, podemos escrever:
Isso mostra que a taxa de variação de em relação a é constante e igual a .

Passo 6

De acordo com o teorema, se é constante, então é uma função afim. No nosso caso, conseguimos mostrar que , uma constante.

Passo 7

Portanto, concluímos que a função é afim. Ou seja, existe um número real e um número real tais que:

Resposta

Sim, a função que satisfaz é uma função afim, ou seja, pode ser expressa como , onde é um número real.

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