Considere as funções f(x) = raiz(x + 5), g(x) = x^2 - 1 e h(x) = x^3 + 2. Faça o que se pede em cada item:
c) Encontre as funções f + h, g * h, f / g, g(h) e f(g) e determine seus domínios.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o item c) do exercício. Aqui, a gente precisa encontrar as funções resultantes de algumas operações entre as funções dadas: , e . As operações são: soma ( ), produto ( ), divisão ( ), e as composições e . Além disso, precisamos determinar o domínio de cada uma dessas novas funções. Para isso, vamos usar conhecimentos sobre operações com funções e como determinar seus domínios.

Passo 2

1. Função :
A soma de duas funções é feita somando as suas expressões. Então,
Determinação do domínio:
O domínio de é o conjunto de valores de onde ambas as funções e estão definidas.
  • Para , o que está dentro da raiz deve ser maior ou igual a zero:
  • Para , como é um polinômio, está definida para todo .
Portanto, o domínio de �� .

Passo 3

2. Função :
O produto de duas funções é feito multiplicando as suas expressões. Assim,
Determinação do domínio:
Novamente, o domínio de é onde ambas as funções e estão definidas.
  • é um polinômio, definido para todo .
  • também é um polinômio, definido para todo .
Logo, o domínio de é todos os números reais.

Passo 4

3. Função :
A divisão de duas funções é feita dividindo as suas expressões, desde que o denominador não seja zero. Então,
Determinação do domínio:
O domínio de é onde está definida e não é zero.
  • Para :
  • Para :
Portanto, o domínio de é e .

Passo 5

4. Função (composição de com ):
A composição significa aplicar primeiro e depois no resultado de . Então,
Determinação do domínio:
Para , precisamos que esteja no domínio de .
  • está definida para todo .
  • está definida para todo .
Assim, o domínio de é todos os números reais.

Passo 6

5. Função (composição de com ):
A composição significa aplicar primeiro e depois no resultado de . Então,
Determinação do domínio:
Para , precisamos que esteja no domínio de .
  • está definida para todo .
  • Dentro de , temos . A expressão dentro da raiz deve ser maior ou igual a zero:
    Como é sempre não negativo e estamos somando 4, a expressão é sempre maior que zero.
Portanto, o domínio de é todos os números reais.

Resposta

As funções solicitadas e seus domínios são:
  1. , domínio: .
  2. , domínio: todos os reais.
  3. , domínio: e .
  4. , domínio: todos os reais.
  5. , domínio: todos os reais.

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