Considere as funções
e
. Faça o que se pede em cada item:
c) Encontre as funções
,
e
e determine seus domínios.
c) Encontre as funções
Passo 1
Beleza, vamos resolver o item c) do exercício. Aqui, a gente precisa encontrar as funções resultantes de algumas operações entre as funções dadas:
,
e
. As operações são: soma (
), produto (
), divisão (
), e as composições
e
. Além disso, precisamos determinar o domínio de cada uma dessas novas funções. Para isso, vamos usar conhecimentos sobre operações com funções e como determinar seus domínios.
Passo 2
1. Função
:
A soma de duas funções é feita somando as suas expressões. Então,
Determinação do domínio:
O domínio de
é o conjunto de valores de
onde ambas as funções
e
estão definidas.
-
Para
, o que está dentro da raiz deve ser maior ou igual a zero: -
Para
, como é um polinômio, está definida para todo .
Portanto, o domínio de
��
.
Passo 3
2. Função
:
O produto de duas funções é feito multiplicando as suas expressões. Assim,
Determinação do domínio:
Novamente, o domínio de
é onde ambas as funções
e
estão definidas.
-
é um polinômio, definido para todo . -
também é um polinômio, definido para todo .
Logo, o domínio de
é todos os números reais.
Passo 4
3. Função
:
A divisão de duas funções é feita dividindo as suas expressões, desde que o denominador não seja zero. Então,
Determinação do domínio:
O domínio de
é onde
está definida e
não é zero.
-
Para
: -
Para
:
Portanto, o domínio de
é
e
.
Passo 5
4. Função
(composição de
com
):
A composição
significa aplicar
primeiro e depois
no resultado de
. Então,
Determinação do domínio:
Para
, precisamos que
esteja no domínio de
.
-
está definida para todo . -
está definida para todo .
Assim, o domínio de
é todos os números reais.
Passo 6
5. Função
(composição de
com
):
A composição
significa aplicar
primeiro e depois
no resultado de
. Então,
Determinação do domínio:
Para
, precisamos que
esteja no domínio de
.
-
está definida para todo . -
Dentro de
, temos . A expressão dentro da raiz deve ser maior ou igual a zero: Comoé sempre não negativo e estamos somando 4, a expressão é sempre maior que zero.
Portanto, o domínio de
é todos os números reais.
Resposta
As funções solicitadas e seus domínios são:
-
, domínio: . -
, domínio: todos os reais. -
, domínio: e . -
, domínio: todos os reais. -
, domínio: todos os reais.