Considere as integrais
Calcule integrais usando quadratura gaussiana repetida em 2 sub integrais com 2 pontos cada, e
de Simpson repetida em 4 sub integrais
Calcule integrais usando quadratura gaussiana repetida em 2 sub integrais com 2 pontos cada, e
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. O conteúdo aqui envolve métodos numéricos de integração, especificamente a Quadratura Gaussiana e a Regra do 1/3 de Simpson. Para isso, vamos precisar entender como dividir a integral em subintervalos e aplicar essas técnicas para aproximar o valor da integral.
Passo 2
Primeiro, vamos usar a Quadratura Gaussiana com 2 subintervalos e 2 pontos em cada um. A Quadratura Gaussiana é um método eficiente que escolhe pontos e pesos específicos para aproximar integrais com alta precisão.
Passo 3
Dividimos o intervalo
em 2 subintervalos:
- Primeiro subintervalo:
- Segundo subintervalo:
Passo 4
Para cada subintervalo, aplicamos a fórmula da Quadratura Gaussiana de 2 pontos. Os pontos
e pesos
para a Quadratura Gaussiana de 2 pontos são:
Mas como nossos subintervalos não são de
, precisamos fazer uma mudança de variável.
Passo 5
A transformação para cada subintervalo
é dada por:
E a integral fica:
Passo 6
Aplicando isso ao primeiro subintervalo
:
Então:
Passo 7
Calculando os pontos:
E avaliando a função:
Passo 8
Então, a aproximação para o primeiro subintervalo é:
Passo 9
Repetimos o mesmo processo para o segundo subintervalo
:
Calculando os pontos:
E avaliando a função:
Passo 10
A aproximação para o segundo subintervalo é:
Passo 11
Somando as aproximações dos dois subintervalos, temos a integral aproximada pela Quadratura Gaussiana:
Passo 12
Agora, vamos calcular a integral usando a Regra do 1/3 de Simpson com 4 subintervalos. A Regra de Simpson é um método que usa parábolas para aproximar a curva da função, sendo mais precisa para funções suaves.
Passo 13
Dividimos o intervalo
em 4 subintervalos iguais, cada um com largura
:
Passo 14
A fórmula da Regra do 1/3 de Simpson para um subintervalo
é:
onde
é o ponto médio.
Passo 15
Aplicando isso a cada subintervalo:
-
:
Note que
envolve
, que é indeterminado, mas tomando o limite conforme
, temos:
Então,
.
Calculando
e
:
Então:
Passo 16
-
:
Calculando
e
:
Então:
Passo 17
-
:
Calculando
e
:
Então:
Passo 18
-
:
Calculando
e
:
Então:
Passo 19
Somando todas as aproximações dos 4 subintervalos, temos a integral aproximada pela Regra do 1/3 de Simpson:
Resposta
A integral
aproximada pela Quadratura Gaussiana é 0.5205 e pela Regra do 1/3 de Simpson é 0.9021.