Considere as integrais
integral0^2 1-cos (x)x^2 d x
Calcule integrais usando quadratura gaussiana repetida em 2 sub integrais com 2 pontos cada, e 1 / 3 de Simpson repetida em 4 sub integrais

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . O conteúdo aqui envolve métodos numéricos de integração, especificamente a Quadratura Gaussiana e a Regra do 1/3 de Simpson. Para isso, vamos precisar entender como dividir a integral em subintervalos e aplicar essas técnicas para aproximar o valor da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a Quadratura Gaussiana com 2 subintervalos e 2 pontos em cada um. A Quadratura Gaussiana é um método eficiente que escolhe pontos e pesos específicos para aproximar integrais com alta precisão.

Passo 3

Dividimos o intervalo em 2 subintervalos:
  • Primeiro subintervalo:
  • Segundo subintervalo:

Passo 4

Para cada subintervalo, aplicamos a fórmula da Quadratura Gaussiana de 2 pontos. Os pontos x1 = -1raiz3, x2 = 1raiz3, w1 = w2 = 1 e pesos para a Quadratura Gaussiana de 2 pontos são:
Mas como nossos subintervalos não são de , precisamos fazer uma mudança de variável.

Passo 5

A transformação para cada subintervalo x = b - a2 t + a + b2 é dada por:
integrala^b f(x) , dx approx b - a2 [ w1 f( b - a2 x1 + a + b2 ) + w2 f( b - a2 x2 + a + b2 ) ]
E a integral fica:

Passo 6

Aplicando isso ao primeiro subintervalo x = 1 - 02 t + 0 + 12 = t2 + 12 :
integral0^1 1 - cos(x)x^2 , dx approx 12 [ f( -1raiz3 cdot 12 + 12 ) + f( 1raiz3 cdot 12 + 12 ) ]
Então:

Passo 7

Calculando os pontos:
x1 = 12 - 12raiz3 approx 0.2113
x2 = 12 + 12raiz3 approx 0.7887
E avaliando a função:
f(x) = 1 - cos(x)x^2
f(0.2113) approx 1 - cos(0.2113)(0.2113)^2 approx 0.505
f(0.7887) approx 1 - cos(0.7887)(0.7887)^2 approx 0.193

Passo 8

Então, a aproximação para o primeiro subintervalo é:
12 (1 cdot 0.505 + 1 cdot 0.193) = 12 (0.698) = 0.349

Passo 9

Repetimos o mesmo processo para o segundo subintervalo x = 2 - 12 t + 1 + 22 = t2 + 32 :
x1 = 32 - 12raiz3 approx 1.2113
Calculando os pontos:
x2 = 32 + 12raiz3 approx 1.7887
f(1.2113) approx 1 - cos(1.2113)(1.2113)^2 approx 0.221
E avaliando a função:
f(1.7887) approx 1 - cos(1.7887)(1.7887)^2 approx 0.122

Passo 10

A aproximação para o segundo subintervalo é:
12 (1 cdot 0.221 + 1 cdot 0.122) = 12 (0.343) = 0.1715

Passo 11

Somando as aproximações dos dois subintervalos, temos a integral aproximada pela Quadratura Gaussiana:
0.349 + 0.1715 = 0.5205

Passo 12

Agora, vamos calcular a integral usando a Regra do 1/3 de Simpson com 4 subintervalos. A Regra de Simpson é um método que usa parábolas para aproximar a curva da função, sendo mais precisa para funções suaves.

Passo 13

Dividimos o intervalo em 4 subintervalos iguais, cada um com largura :

Passo 14

A fórmula da Regra do 1/3 de Simpson para um subintervalo integrala^b f(x) , dx approx h6 [f(a) + 4f(m) + f(b)] é:
onde é o ponto médio.

Passo 15

Aplicando isso a cada subintervalo:
  1. m = 0.25 :
0.56 [f(0) + 4f(0.25) + f(0.5)]
limx to 0 1 - cos(x)x^2 = 12
Note que f(0.25) = 1 - cos(0.25)(0.25)^2 approx 1 - 0.96890.0625 approx 0.5176 envolve f(0.5) = 1 - cos(0.5)(0.5)^2 approx 1 - 0.87760.25 approx 0.490 , que é indeterminado, mas tomando o limite conforme 0.56 (0.5 + 4 cdot 0.5176 + 0.490) = 0.56 (0.5 + 2.0704 + 0.490) = 0.56 cdot 3.0604 approx 0.2550 , temos:
Então, .
Calculando e :
Então:

Passo 16

  1. m = 0.75 :
0.56 [f(0.5) + 4f(0.75) + f(1.0)]
f(0.75) = 1 - cos(0.75)(0.75)^2 approx 1 - 0.73170.5625 approx 0.475
Calculando f(1.0) = 1 - cos(1.0)1.0^2 approx 1 - 0.54031 approx 0.4597 e 0.56 (0.490 + 4 cdot 0.475 + 0.4597) = 0.56 (0.490 + 1.9 + 0.4597) = 0.56 cdot 2.8497 approx 0.2375 :
Então:

Passo 17

  1. m = 1.25 :
0.56 [f(1.0) + 4f(1.25) + f(1.5)]
f(1.25) = 1 - cos(1.25)(1.25)^2 approx 1 - 0.31531.5625 approx 0.4236
Calculando f(1.5) = 1 - cos(1.5)(1.5)^2 approx 1 - 0.07072.25 approx 0.4197 e 0.56 (0.4597 + 4 cdot 0.4236 + 0.4197) = 0.56 (0.4597 + 1.6944 + 0.4197) = 0.56 cdot 2.5738 approx 0.2145 :
Então:

Passo 18

  1. m = 1.75 :
0.56 [f(1.5) + 4f(1.75) + f(2.0)]
f(1.75) = 1 - cos(1.75)(1.75)^2 approx 1 - (-0.1788)3.0625 approx 0.392
Calculando f(2.0) = 1 - cos(2.0)(2.0)^2 approx 1 - (-0.4161)4 approx 0.3540 e 0.56 (0.4197 + 4 cdot 0.392 + 0.3540) = 0.56 (0.4197 + 1.568 + 0.3540) = 0.56 cdot 2.3417 approx 0.1951 :
Então:

Passo 19

Somando todas as aproximações dos 4 subintervalos, temos a integral aproximada pela Regra do 1/3 de Simpson:
0.2550 + 0.2375 + 0.2145 + 0.1951 approx 0.9021

Resposta

A integral aproximada pela Quadratura Gaussiana é 0.5205 e pela Regra do 1/3 de Simpson é 0.9021.

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