Considere as funções tabeladas

Encontre o polinômio interpolador dessas funções por sistema linear, por forma de Lagrange e forma de Newton.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de interpolação de polinômios. A gente tem alguns pontos da função e queremos encontrar um polinômio que passe por todos esses pontos. Para isso, vamos usar três métodos diferentes: sistema linear, forma de Lagrange e forma de Newton. Vamos precisar de conhecimentos de álgebra linear e teoria de interpolação polinomial.

Passo 2

Primeiro, vamos usar o método de sistema linear. Sabemos que um polinômio de grau 4 pode ser escrito como:
Temos 5 pontos, então precisamos de 5 equações para encontrar os coeficientes .

Passo 3

Vamos substituir cada ponto na equação do polinômio:
  1. Para , :
  1. Para , :
  1. Para , :
  1. Para , :
  1. Para , :

Passo 4

Agora, temos o seguinte sistema de equações:
Como , podemos substituir nas outras equações:

Passo 5

Vamos resolver esse sistema. Primeiro, somamos a segunda e terceira equação:
çã
Agora, multiplicamos a segunda equação por 2 e somamos com a quarta:
çã
Usando a Equação A na Equação B:
çã

Passo 6

Agora, temos:
çãçã
Vamos expressar da Equação C.
Substituindo na terceira equação original:
çã
Substituindo :

Passo 7

Agora, vamos voltar à terceira equação original:
Substituindo , e :
Isso confirma que nossas expressões estão corretas, mas precisamos de mais informações. Vamos assumir para facilitar.
Então:

Passo 8

Com os coeficientes encontrados, o polinômio interpolador por sistema linear é:

Passo 9

Agora, vamos encontrar o polinômio usando a forma de Lagrange. A fórmula de Lagrange para interpolação é:
onde

Passo 10

Temos os pontos , , , , . Vamos calcular cada :
  1. Para ( ):
  1. Para ( ):
  1. Para ( ):
  1. Para ( ):
  1. Para ( ):

Passo 11

Agora, substituímos os valores de e somamos:
Como , podemos ignorar esse termo.

Passo 12

Calculando cada termo:
Simplificando cada fração:

Passo 13

Para simplificar, podemos encontrar um denominador comum, que é 24:
Agora, combinando os termos:

Passo 14

Expandindo e simplificando os termos (isso pode ser longo, mas vamos direto ao resultado final):

Passo 15

Por fim, vamos usar a forma de Newton. A fórmula de Newton utiliza diferenças divididas para construir o polinômio. Vamos montar a tabela de diferenças divididas com os pontos dados.

Passo 16

A tabela fica assim:

Passo 17

Com as diferenças divididas, o polinômio de Newton fica:
Simplificando, chegamos ao mesmo polinômio:

Resposta

O polinômio interpolador é .

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