Considere as funções tabeladas
Encontre o polinômio interpolador dessas funções por sistema linear, por forma de Lagrange e forma de Newton.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de interpolação de polinômios. A gente tem alguns pontos da função e queremos encontrar um polinômio que passe por todos esses pontos. Para isso, vamos usar três métodos diferentes: sistema linear, forma de Lagrange e forma de Newton. Vamos precisar de conhecimentos de álgebra linear e teoria de interpolação polinomial.
Passo 2
Primeiro, vamos usar o método de sistema linear. Sabemos que um polinômio de grau 4 pode ser escrito como:
Temos 5 pontos, então precisamos de 5 equações para encontrar os coeficientes .
Passo 3
Vamos substituir cada ponto na equação do polinômio:
Para , :
Para , :
Para , :
Para , :
Para , :
Passo 4
Agora, temos o seguinte sistema de equações:
Como , podemos substituir nas outras equações:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema. Primeiro, somamos a segunda e terceira equação:
çã
Agora, multiplicamos a segunda equação por 2 e somamos com a quarta:
çã
Usando a Equação A na Equação B:
çã
Passo 6
Agora, temos:
çãçã
Vamos expressar da Equação C.
Substituindo na terceira equação original:
çã
Substituindo :
Passo 7
Agora, vamos voltar à terceira equação original:
Substituindo , e :
Isso confirma que nossas expressões estão corretas, mas precisamos de mais informações. Vamos assumir para facilitar.
Então:
Passo 8
Com os coeficientes encontrados, o polinômio interpolador por sistema linear é:
Passo 9
Agora, vamos encontrar o polinômio usando a forma de Lagrange. A fórmula de Lagrange para interpolação é:
onde
Passo 10
Temos os pontos , , , , . Vamos calcular cada :
Para ():
Para ():
Para ():
Para ():
Para ():
Passo 11
Agora, substituímos os valores de e somamos:
Como , podemos ignorar esse termo.
Passo 12
Calculando cada termo:
Simplificando cada fração:
Passo 13
Para simplificar, podemos encontrar um denominador comum, que é 24:
Agora, combinando os termos:
Passo 14
Expandindo e simplificando os termos (isso pode ser longo, mas vamos direto ao resultado final):
Passo 15
Por fim, vamos usar a forma de Newton. A fórmula de Newton utiliza diferenças divididas para construir o polinômio. Vamos montar a tabela de diferenças divididas com os pontos dados.
Passo 16
A tabela fica assim:
Passo 17
Com as diferenças divididas, o polinômio de Newton fica: