Considere as integrais
integral0^1 / 2 x^2 raiz1+x^4 d x
Calcule integrais usando quadratura gaussiana repetida em 2 sub integrais com 2 pontos cada, e 1 / 3 de Simpson repetida em 4 sub integrais

Passo 1

Primeiramente, vamos entender o que o exercício nos pede. Temos a integral definida:
integral0^12 x^2 raiz1+x^4 , dx
O objetivo é calcular essa integral usando dois métodos de integração numérica: Quadratura Gaussiana repetida em 2 subintervalos com 2 pontos cada e a Regra de Simpson 1/3 repetida em 4 subintervalos. Para isso, precisaremos dividir o intervalo de integração conforme indicado e aplicar cada método em cada subintervalo.

Passo 2

Vamos começar com a Quadratura Gaussiana. Esse método é eficiente para aproximar integrais de funções polinomiais multiplicadas por pesos. No nosso caso, usaremos a quadratura com 2 pontos em cada subintervalo.
Primeiro, precisamos dividir o intervalo De em 2 subintervalos iguais:
Então, os subintervalos são:

Passo 3

Para cada subintervalo, aplicaremos a quadratura gaussiana de 2 pontos. Os pontos e pesos padrão para a quadratura de Gauss-Legendre de 2 pontos no intervalo xi1 = -1raiz3, xi2 = 1raiz3 são:
w1 = w2 = 1
x = b - a2 xi + a + b2
Precisamos fazer uma mudança de variável para ajustar os pontos ao nosso subintervalo dx = b - a2 dxi . A transformação é:

Passo 4

Vamos aplicar a quadratura gaussiana no primeiro subintervalo a = 0, b = 14 :
x1 = 1/4 - 02 (-1raiz3) + 0 + 1/42 = 18 - 18raiz3 approx 0,0952
Transformamos os pontos:
x2 = 1/4 - 02 (1raiz3) + 0 + 1/42 = 18 + 18raiz3 approx 0,1548
integral0^1/4 x^2 raiz1+x^4 , dx approx 1/4 - 02 [ f(x1) w1 + f(x2) w2 ]
Agora, calculamos a função nos pontos transformados e aplicamos a fórmula da quadratura:

Passo 5

Calculando f(x1) approx (0,0952)^2 raiz1 + (0,0952)^4 approx 0,00907 nos pontos f(x2) approx (0,1548)^2 raiz1 + (0,1548)^4 approx 0,02402 e integral0^1/4 x^2 raiz1+x^4 , dx approx 18 (0,00907 + 0,02402) = 18 times 0,03309 approx 0,004137 :
Aplicando os pesos:

Passo 6

Repetimos o mesmo processo para o segundo subintervalo a = 14, b = 12 :
x1 = 1/2 - 1/42 (-1raiz3) + 1/4 + 1/22 = 18 - 18raiz3 + 38 = 38 - 18raiz3 approx 0,4048
Transformamos os pontos:
x2 = 1/2 - 1/42 (1raiz3) + 1/4 + 1/22 = 18 + 18raiz3 + 38 = 38 + 18raiz3 approx 0,4548

Passo 7

Calculando f(x1) approx (0,4048)^2 raiz1 + (0,4048)^4 approx 0,1658 nos novos pontos:
f(x2) approx (0,4548)^2 raiz1 + (0,4548)^4 approx 0,2356
integral1/4^1/2 x^2 raiz1+x^4 , dx approx 18 (0,1658 + 0,2356) = 18 times 0,4014 approx 0,050175
Aplicando os pesos:

Passo 8

Agora, somamos as aproximações dos dois subintervalos para obter a aproximação total pela Quadratura Gaussiana:
integral0^1/2 x^2 raiz1+x^4 , dx approx 0,004137 + 0,050175 = 0,054312

Passo 9

Agora, vamos calcular a mesma integral usando a Regra de Simpson 1/3 repetida em 4 subintervalos. A Regra de Simpson 1/3 é uma técnica que utiliza parabolas para aproximar a função em cada par de subintervalos.
Primeiro, dividimos o intervalo De em 4 subintervalos iguais:
0, 18, 28 = 14, 38, 48 = 12
Os pontos de divisão são:

Passo 10

Aplicamos a Regra de Simpson 1/3 em cada par de subintervalos adjacentes. A fórmula para cada par é:
integrala^c f(x) , dx approx De
Então, teremos duas aplicações da regra:
  1. De a
  2. De a

Passo 11

Calculando para o primeiro par a = 0, c = 14, m = a + c2 = 18 :
f(0) = 0^2 raiz1+0^4 = 0
Avaliando a função nos pontos:
f(18) = (18)^2 raiz1+(18)^4 approx 0,00156
f(14) = (14)^2 raiz1+(14)^4 approx 0,01563
integral0^1/4 x^2 raiz1+x^4 , dx approx 1/83 [ 0 + 4(0,00156) + 0,01563 ] = 124 times (0 + 0,00624 + 0,01563) approx 0,000983
Aplicando a fórmula de Simpson:

Passo 12

Agora, para o segundo par a = 14, c = 12, m = a + c2 = 38 :
f(14) approx 0,01563
Avaliando a função nos pontos:
f(38) = (38)^2 raiz1+(38)^4 approx 0,06415
f(12) = (12)^2 raiz1+(12)^4 approx 0,25 raiz1 + 0,0625 approx 0,25 times 1,031 = 0,25775
integral1/4^1/2 x^2 raiz1+x^4 , dx approx 1/83 [ 0,01563 + 4(0,06415) + 0,25775 ] = 124 times (0,01563 + 0,2566 + 0,25775) approx 0,020626
Aplicando a fórmula de Simpson:

Passo 13

Somando as aproximações dos dois pares de subintervalos para obter a aproximação total pela Regra de Simpson 1/3:
integral0^1/2 x^2 raiz1+x^4 , dx approx 0,000983 + 0,020626 = 0,021609

Resposta

Utilizando os métodos de integração numérica:
  • Quadratura Gaussiana: A aproximação da integral é aproximadamente 0,0543.
  • Regra de Simpson 1/3: A aproximação da integral é aproximadamente 0,0216.

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