Considere as integrais

Calcule integrais usando quadratura gaussiana repetida em 2 sub integrais com 2 pontos cada, e de Simpson repetida em 4 sub integrais

Passo 1

Primeiramente, vamos entender o que o exercício nos pede. Temos a integral definida:
O objetivo é calcular essa integral usando dois métodos de integração numérica: Quadratura Gaussiana repetida em 2 subintervalos com 2 pontos cada e a Regra de Simpson 1/3 repetida em 4 subintervalos. Para isso, precisaremos dividir o intervalo de integração conforme indicado e aplicar cada método em cada subintervalo.

Passo 2

Vamos começar com a Quadratura Gaussiana. Esse método é eficiente para aproximar integrais de funções polinomiais multiplicadas por pesos. No nosso caso, usaremos a quadratura com 2 pontos em cada subintervalo.
Primeiro, precisamos dividir o intervalo em 2 subintervalos iguais:
Então, os subintervalos são:

Passo 3

Para cada subintervalo, aplicaremos a quadratura gaussiana de 2 pontos. Os pontos e pesos padrão para a quadratura de Gauss-Legendre de 2 pontos no intervalo são:
Precisamos fazer uma mudança de variável para ajustar os pontos ao nosso subintervalo . A transformação é:

Passo 4

Vamos aplicar a quadratura gaussiana no primeiro subintervalo :
Transformamos os pontos:
Agora, calculamos a função nos pontos transformados e aplicamos a fórmula da quadratura:

Passo 5

Calculando nos pontos e :
Aplicando os pesos:

Passo 6

Repetimos o mesmo processo para o segundo subintervalo :
Transformamos os pontos:

Passo 7

Calculando nos novos pontos:
Aplicando os pesos:

Passo 8

Agora, somamos as aproximações dos dois subintervalos para obter a aproximação total pela Quadratura Gaussiana:

Passo 9

Agora, vamos calcular a mesma integral usando a Regra de Simpson 1/3 repetida em 4 subintervalos. A Regra de Simpson 1/3 é uma técnica que utiliza parabolas para aproximar a função em cada par de subintervalos.
Primeiro, dividimos o intervalo em 4 subintervalos iguais:
Os pontos de divisão são:

Passo 10

Aplicamos a Regra de Simpson 1/3 em cada par de subintervalos adjacentes. A fórmula para cada par é:
Então, teremos duas aplicações da regra:
  1. De a
  2. De a

Passo 11

Calculando para o primeiro par :
Avaliando a função nos pontos:
Aplicando a fórmula de Simpson:

Passo 12

Agora, para o segundo par :
Avaliando a função nos pontos:
Aplicando a fórmula de Simpson:

Passo 13

Somando as aproximações dos dois pares de subintervalos para obter a aproximação total pela Regra de Simpson 1/3:

Resposta

Utilizando os métodos de integração numérica:
  • Quadratura Gaussiana: A aproximação da integral é aproximadamente 0,0543.
  • Regra de Simpson 1/3: A aproximação da integral é aproximadamente 0,0216.

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