Considere as integrais
Calcule integrais usando quadratura gaussiana repetida em 2 sub integrais com 2 pontos cada, e
de Simpson repetida em 4 sub integrais
Calcule integrais usando quadratura gaussiana repetida em 2 sub integrais com 2 pontos cada, e
Passo 1
Primeiramente, vamos entender o que o exercício nos pede. Temos a integral definida:
O objetivo é calcular essa integral usando dois métodos de integração numérica: Quadratura Gaussiana repetida em 2 subintervalos com 2 pontos cada e a Regra de Simpson 1/3 repetida em 4 subintervalos. Para isso, precisaremos dividir o intervalo de integração conforme indicado e aplicar cada método em cada subintervalo.
Passo 2
Vamos começar com a Quadratura Gaussiana. Esse método é eficiente para aproximar integrais de funções polinomiais multiplicadas por pesos. No nosso caso, usaremos a quadratura com 2 pontos em cada subintervalo.
Primeiro, precisamos dividir o intervalo
em 2 subintervalos iguais:
Então, os subintervalos são:
Passo 3
Para cada subintervalo, aplicaremos a quadratura gaussiana de 2 pontos. Os pontos e pesos padrão para a quadratura de Gauss-Legendre de 2 pontos no intervalo
são:
Precisamos fazer uma mudança de variável para ajustar os pontos ao nosso subintervalo
. A transformação é:
Passo 4
Vamos aplicar a quadratura gaussiana no primeiro subintervalo
:
Transformamos os pontos:
Agora, calculamos a função nos pontos transformados e aplicamos a fórmula da quadratura:
Passo 5
Calculando
nos pontos
e
:
Aplicando os pesos:
Passo 6
Repetimos o mesmo processo para o segundo subintervalo
:
Transformamos os pontos:
Passo 7
Calculando
nos novos pontos:
Aplicando os pesos:
Passo 8
Agora, somamos as aproximações dos dois subintervalos para obter a aproximação total pela Quadratura Gaussiana:
Passo 9
Agora, vamos calcular a mesma integral usando a Regra de Simpson 1/3 repetida em 4 subintervalos. A Regra de Simpson 1/3 é uma técnica que utiliza parabolas para aproximar a função em cada par de subintervalos.
Primeiro, dividimos o intervalo
em 4 subintervalos iguais:
Os pontos de divisão são:
Passo 10
Aplicamos a Regra de Simpson 1/3 em cada par de subintervalos adjacentes. A fórmula para cada par é:
Então, teremos duas aplicações da regra:
- De
a - De
a
Passo 11
Calculando para o primeiro par
:
Avaliando a função nos pontos:
Aplicando a fórmula de Simpson:
Passo 12
Agora, para o segundo par
:
Avaliando a função nos pontos:
Aplicando a fórmula de Simpson:
Passo 13
Somando as aproximações dos dois pares de subintervalos para obter a aproximação total pela Regra de Simpson 1/3:
Resposta
Utilizando os métodos de integração numérica:
- Quadratura Gaussiana: A aproximação da integral é aproximadamente 0,0543.
- Regra de Simpson 1/3: A aproximação da integral é aproximadamente 0,0216.
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