Considere as funções vetoriais u(t) = (sen t, cos t, t/2) e v(t) = (cos t, sen t, 1)
(b) Determine o produto vetorial u(t) * v(t) das funções vetoriais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar o produto vetorial das funções vetoriais e . Isso está no conteúdo de álgebra vetorial, especificamente sobre o produto vetorial. Para resolver, vamos precisar lembrar como calcular o produto vetorial entre dois vetores tridimensionais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto vetorial de dois vetores e é dado pela seguinte fórmula:
Esse cálculo resulta em um novo vetor que é perpendicular aos vetores e .

Passo 3

Agora, vamos identificar os componentes das funções vetoriais e :
Onde:
E:

Passo 4

Aplicando a fórmula do produto vetorial:
Vamos calcular cada componente:
  1. Primeira componente ( ):
  2. Segunda componente ( ):
  3. Terceira componente ( ):

Passo 5

Simplificando a terceira componente, podemos usar a identidade trigonométrica:
Então, substituindo de volta:

Resposta

O produto vetorial é igual a:

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Considere as funções vetoriais u(t) = (sen t, cos t, t/2) e v(t) = (cos t, sen t, 1)
(a) Calcule o produto escalar u(t) * v(t) das funções vetoriais.
Calcule as integrais abaixo, usando as técnicas de integração que aprendemos:
integral-pi2^pi cos ^3(theta) sen^2(theta) d theta.
Considere as funções vetoriais u(t)=(sin t, cos t, t2) e v(t)=(cos t, sin t, 1)
(d) lim t 0 u(t).
Considere as funções vetoriais u(t) = (sen t, cos t, t/2) e v(t) = (cos t, sen t, 1)
(e) Determine a equação da reta tangente à trajetória a função u(t), no ponto t = pi / 3.