Considere as funções vetoriais
e
(e) Determine a equação da reta tangente à trajetória a função
, no ponto
.
(e) Determine a equação da reta tangente à trajetória a função
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para determinarmos a equação da reta tangente à trajetória da função vetorial
no ponto onde
. Estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com curvas parametrizadas e suas tangentes. Para resolver isso, vamos precisar encontrar o ponto na curva correspondente a
e a direção da reta tangente nesse ponto, que é dada pela derivada da função
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o ponto na curva quando
. Basta substituir esse valor na função
:
Sabemos que
e
, então:
Esse é o ponto de tangência na curva.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada da função
, que nos dará a velocidade ou o vetor tangente à curva em qualquer ponto
. Derivando cada componente de
:
Passo 4
Vamos calcular
para obter a direção da reta tangente no ponto de interesse:
Esse vetor será a direção da nossa reta tangente.
Passo 5
Com o ponto de tangência
e o vetor direção
, podemos escrever a equação paramétrica da reta tangente. A forma geral é:
Onde
é o ponto de tangência e
é o vetor direção. Substituindo:
Isso nos dá as equações paramétricas da reta tangente.
Resposta
A equação da reta tangente à trajetória de
no ponto
é:
Onde
é o parâmetro real.
Exercícios relacionados
Considere as funções vetoriais
e
(d) .
(d)
Considere as funções vetoriais
e
(b) Determine o produto vetorial das funções vetoriais.
(b) Determine o produto vetorial
Seja
a) Considere a reta , com
; mostre que, quaisquer que sejam
e
,
a) Considere a reta
Seja
b) Calcule , onde
.
b) Calcule